Vorlesungsskript Kanalcodierung II - Universität Bremen

Kanalcodierung II
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben
Universität Bremen
Fachbereich 1, ANT
Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einem unvollständigen Produktcode. Er hat die Coderate
R c =
=
k − ·k |
k − ·k | +(n − −k − )·k | +(n | −k | )·k − = 1
1+(n − −k − ) 1
k − +(n | −k | ) 1 k |
1+ 1
R − c
1
−1+ 1 R | c
−1 = 1
1
R | + 1
R − c
c
−1 = R c | ·Rc
−
Rc − +R c | −Rc − ·R c
|
(1.4)
Hinsichtlich der Mindestdistanz gilt die Beziehung
d min = d − min +d| min
−1 . (1.5)
Gl. (1.5) ist folgendermaßen zu verstehen. Wir nehmen wieder an, dass der Informationsteil u nur eine Zeile
enthält, die exakt ein Element ungleich Null besitzt, alle übrigen Zeilen sollen nur Nullen enthalten. Ferner habe
das zugehörige Codewort dieser Zeile das minimale Gewicht d − min . Die vertikale Decodierung mit C| erzeugt
somit nur ein einziges Codewort ungleich Null, da der Prüfteil nicht mehr codiert wird. Dieses Codewort hat
aber ein minimales Gewicht vond | min
, so dass sich beide Gewichte addieren. Jetzt muss nur noch berücksichtigt
werden, dass das Informationsbit, welches ungleich Null war, in beiden Codeworten vorkommt und nur einmal
übertragen wird, woraus sich Gl. (1.5) ergibt.
Beispiel 5: Unvollständiger Produktcode mit (3,2,2)- und (4,3,2)-SPC-Codes
Wir wollen nun die beiden zuvor betrachteten Beispiele 3 und 4 auf unvollständige Produktcodes anwenden.
Aus den beiden SPC-Codes konstruieren wir einen (11,6,3)-Produktcode (siehe Bild 1.10). Die Coderate R c =
6/11 verändert sich in diesem Fall wenig gegenüber dem vollständigen Produktcode. Allerdings verringert sich
die minimale Distanz gemäß Gl. (1.5) von 4 auf 3. Damit lässt sich immer noch 1 Fehler korrigieren, aber nur
noch 2 Fehler erkennen.
x 0
x 1
x 4 x 8
x 5 x 9
x 2 x 6 x 10
Bild 1.10: Beispiel 5: (11,6,4)-Produktcode bestehend aus (3,2,2)- und (4,3,2)-SPC-Codes
Die eingekreisten Elemente kennzeichnen die Binärstellen gleich 1 für ein mögliches Codewort mit minimalem
Gewicht. Die Singleton-Schranke lautet
d min ≤ n−k+1 = 11−6+1 = 6.
Beispiel 6:
Die beiden aus Beispiel 4 bekannten Teilcodes werden nun zu einem unvollständigen (25,12,4)-Produktcode
kombiniert (siehe Bild 1.11). Die Coderate R c = 12/25 vergrößert sich etwas gegenüber dem vollständigen
Produktcode. Die neue minimale Gesamtdistanz beträgt jetzt d min = 2+3−1 = 4. Damit lassen sich nun 2
Fehler erkennen und 1 Fehler korrigieren.
Die Singleton-Schranke lautet hier
d min ≤ n−k +1 = 25−12+1 = 14.
1.4. PARALLELE CODEVERKETTUNG (TURBO-CODES) 10