1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP) - Universität Kassel

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie
1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)
1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)
Eingabe:
Frage:
Eine endliche Folge von Wortpaaren
(x 1 , y 1 ),(x 2 , y 2 ), ...,(x k , y k ) mit x i , y i ∈ Σ + .
Gibt es eine Folge von Indizes i 1 , i 2 , ...,i n ∈ {1, 2, ...,k},
n ≥ 1, mit x i1 x i2 . ..x in = y i1 y i2 . ..y in
i 1 , i 2 , ...,i n ist eine Lösung von (x 1 , y 1 ), ...,(x k , y k ).
Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 134 / 140

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie
1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)
Beispiele:
(a) K = ((1, 101), (10, 00),(011, 11)),
d.h. x 1 = 1, x 2 = 10, x 3 = 011
y 1 = 101, y 2 = 00, y 3 = 11
Lösung: (1, 3, 2, 3):
x 1
{}}{
1
x 3
{ }} {
0 1 1
x 2
{}}{
1 0
x 3
{ }} {
0 1 1
} {{ } }{{} }{{} }{{}
y 1 y 3 y 2 y 3
(b) K = ((001, 0), (01, 011),(01, 101),(10, 001))
Kürzeste Lösung hat Länge 66: (i 1 , i 2 , ...,i 66 ).
Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 135 / 140

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie
1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)
Das Problem MPCP:
Eingabe: wie bei PCP.
Frage: Gibt es eine Lösung i 1 , i 2 , ...,i n mit i 1 = 1
Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 136 / 140

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie
1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)
Lemma 1.51
MPCP ≤ PCP.
Beweis:
Seien $ und # neue Symbole.
Für w = a 1 a 2 . ..a m ∈ Σ + seien ¯w := #a 1 #a 2 # . ..#a m #
Sei K = ((x 1 , y 1 ), ...,(x k , y k )) ein MPCP.
ẁ := #a 1 #a 2 # . ..#a m
ẃ := a 1 #a 2 # . ..#a m #
Definiere f(K) := ((¯x 1 , ỳ 1 ),(´x 1 , ỳ 1 ),(´x 2 , ỳ 2 ), ...,(´x k , ỳ k ),($,#$))
f ist berechenbar.
Behauptung:
K hat Lösung mit i 1 = 1 gdw. f(K) hat Lösung.
Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 137 / 140

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie
1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)
Beweis:
Sei (i 1 , i 2 , ...,i n ) eine Lösung für K mit i 1 = 1, d.h.
x 1 x i2 . ..x in = y 1 y i2 . ..y in .
Dann x 1 x i2 . ..x in $ = y 1 y i2 . ..y in $
=
=
¯x 1´x i2 . .. ´x in $ ỳ 1 ỳ i2 . ..ỳ in #$
d.h. (1, i 2 + 1, ...,i n + 1, k + 2) ist Lösung für f(K).
Sei nun j 1 , ...,j m ∈ {1, ...,k + 2} eine Lösung für f(K).
Dann sind j 1 = 1, j m = k + 2 und j s ∈ {2, ...,k + 1}, 2 ≤ s ≤ m − 1.
Also ist (1, j 2 − 1, ...,j m−1 − 1) eine Lösung für K .
✷
Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 138 / 140

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie
1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)
Lemma 1.52
H ≤ MPCP.
Beweis-Idee:
Sei M = (Z,Σ,Γ, δ, z 0 ,✷, E) eine TM, und sei x ∈ Σ ∗ .
(M, x) ↦→ Eingabe K (M,x) des MPCP mit:
f
M hält bei Eingabe x (d.h. w M #x ∈ H)
gdw.
K (M,x) hat eine Lösung mit i 1 = 1.
Details: siehe Buch (pp. 134-135). ✷
Satz 1.53
Das PCP ist unentscheidbar.
Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 139 / 140

Kapitel 1: Berechenbarkeitstheorie
1.7 Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP)
Satz 1.54
Das PCP ist bereits unentscheidbar, wenn es auf das Alphabet
Σ = {0, 1} beschränkt wird.
Beweis:
K über Σ m = {a 1 , a 2 , ...,a m }
↦→
ˆK über Σ : a i ↦→ 01 i (i = 1, ...,m)
Dann: K hat Lösung gdw. ˆK hat Lösung. ✷
Bemerkung:
(a) PCP ist semi-entscheidbar.
(b) H ist semi-entscheidbar: universelle TM.
(c) H ist nicht semi-entscheidbar.
Prof. Dr. F. Otto (Universität Kassel) Berechenbarkeit und Formale Sprachen 140 / 140