Anja Freytag, Robert Zeranski

Referenten: Anja Freytag, Robert Zeranski
Seminarleiter: Prof. Dr. Bernd Zimmermann
Wintersemester 2008 / 2009
Historische Aspekte der Stochastik
„Stochastik“ stammt aus dem griechischen: stochazesthai (mutmaßen, vermuten),
stochasmos (die Vermutung)

Text der zwischen 1222 und 1268 entstand Ovidius: „De Vetula“
(405) Du wirst aber vielleicht sagen, dass einige Zahlen von denjenigen, die
bei den Würfelspielern in Gebrauch sind, ein größeres Gewicht haben als
andere, und zwar deshalb, weil ein Würfel sechs Seiten und sechs einfache
Zahlen hat, und es daher bei drei Würfeln 18 sind, von denen Würfeln 3
übrigbleiben müssen.
(410) Diese werden auf verschiedene Art variiert, und es entstehen so
zweimal acht zusammengesetzte Zahlen, freilich nicht von gleichem Wert,
denn die höheren und niederen Zahlen treten selten auf, die mittleren
häufig, und die übrigen in umso größerer Zahl und um so häufiger, je näher
sie gerade den mittleren Werten liegen.
(461) Es gibt also nicht allein den Zufall; ich sage dir aber in wenigen
Worten, dass darin der Zufall stecken muss, wenn das Glück dir oder deinem
Kameraden den besseren Wurf zugesteht.

Historischer Überblick
Indien 2000 - 1000 v. Chr.
Würfelspiel: vornehmste Unterhaltung des Adels, großer Eifer in
Kreisen des Volkes (Vorschriften über Spielhäuser und Spielschulden)
(I) Würfel: Nuss des Vibhidaka-Baumes
Spiel: Die Anzahl der Würfel des Gegenspielers zu Zahl bestimmter
Eigenschaft ergänzen
(II) Würfel: Rechtwinklige, vierseitige Prismen (pasakas),
Spiel: Das vorher Genannte muss gewürfelt werden (24 Variationen)
keine Glücksspielrechnung, keine Berechnung von Chancen
(pasakas sind im auch im Orakel verwendet worden)

Historischer Überblick
Griechen und Römer 6. Jh. v. Chr.
Spiel mit Astragalen (Knöchel: Sprungbein von Schaf oder Ziege)
Im Dezember war spielen allgemein erlaubt, sonst verpönt!
Astragalen: Bedeutung wurde an der Form erkannt (keine zusätzliche
Bezeichnung)
Spiele: Meisterwurfspiel (wer weniger wirft, muss Gegenspieler
einen seiner Astragalen geben)
Rate-Spiel (raten ob Anzahl gerade oder ungerade)
Lose spielten große Rolle: verteilendes Los, beratendes Los,
wahrsagendes Los

Historischer Überblick
Die Anfänge 1500 - 1700
Cardano (1501 – 1576) Beim Würfelspiel beobachtete Zufallsgesetze z.B.
Problem der Gewinnaufteilung. Schrieb das älteste Buch, dass der
Wahrscheinlichkeitsrechnung gewidmet war.
1654 Chevalier de Méré, angeblich Berufsspieler, beklagt sich bei Blaise
Pascal (1623 - 1662), dass die Mathematik mit dem Leben nicht
übereinstimme. Bei zwei Würfelspielen
(1) mit 1 Würfel, 6 Ausfälle, in 4 Würfen mindestens eine Sechs
(2) mit 2 Würfeln, 6*6 = 36 Ausfälle, in 6*4 = 24 Würfen
mindestens eine Doppelsechs
zu erhalten müsste die gleichen Chancen haben, denn die beiden Verhältnisse 6:4
und 36:24 sind gleich. Die Spielpraxis zeigte aber, dass dem nicht so ist.

Historischer Überblick
Die Anfänge 1500 - 1700
Das Problem der Gewinnaufteilung, das schon Cardano beschäftigte: Bei einem
Glücksspiel wird in mehreren Runden um einen Einsatz gespielt. Das Spiel wird
vorzeitig unterbrochen. Wie ist der Einsatz unter die beiden Spieler gerecht zu
verteilen?
Die erste richtige allgemeine Lösung findet sich in einem Briefwechsel zwischen
Pascal und Fermat (1601 - 1665)
1657 Christiaan Huygens (1629 - 1695): Tractatus de Ratiociniis in Aleae Ludo.
Enthält eine vollständige Theorie des Würfelspiels. Sie wurde durch den
Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat angeregt. Er schuf den Begriff der
Erwartung.
1669 Sterblichkeitsprobleme

Historischer Überblick
Die moderne Entwicklung 1700 - 1933
1713 Jakob Bernoulli (1654 - 1705): Ars conjectandi. (Über die Kunst des
Vermutens) Das erste grundlegende Werk über die Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Es baut auf Huygens auf. Herausgegeben wurde das Werk posthum von einem
Neffen Jakob Bernoullis, dem Mathematiker, Logiker und Juristen Nikolaus
Bernoulli.
� erste Verallgemeinerungen der konkreten Glücksspielprobleme
Jakob Bernoulli: „Die Wahrscheinlichkeit ist ein Grad der Gewissheit und
unterscheidet sich von ihr wie ein Teil vom Ganzen“ (1713)
Er verwendet den Begriff „Urne“ als erster in Bezug auf eine Lostrommel

Historischer Überblick
Die moderne Entwicklung 1700 - 1933
1812 Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827): Théorie analytique des
probabilités. Erste Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als das
Verhältnis der günstigen Fälle zu den möglichen Fällen. Er formulierte darüber
hinaus die Regeln für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten.
1908 Poincaré (1854 - 1912): Nach welchen Gesetzen fällt der Regen?
1933 Andrei Nikolajewitsch Kolmogoroff (1903 - 1987): Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie

Warum begann die Entwicklung erst so spät?

Aufgabe 1. Drei Spieler A, B, und C nehmen 12 Steine, von denen 4 weiß und 8
schwarz sind, und spielen unter der Bedingung, dass derjenige Sieger sei, der als
erster mit verbundenen Augen einen weißen Stein ergreift; dabei solle zuerst A,
dann B und schließlich C ziehen, dann wieder A und so fort. In welchem Verhältnis
stehen ihre Chancen zueinander?
(a) mit zurücklegen (Huygens)
(b) ohne zurücklegen (Huddle)
Jakob Bernoulli fügte noch eine weitere Variante hinzu: Jeder zieht aus seiner
eigenen Urne mit Steinen ohne zurücklegen in der angegebenen Reihenfolge.

Aufgabe 2. A wettet mit B, dass er aus 40 Spielkarten, von denen je 10 von
derselben Farbe sind, vier Karten verschiedener Farbe herausziehen wird. Wie
müssen sich die Einsätze verhalten, damit die Wette fair wird?

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit