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VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE DER EBENE
5.1 Grundlagen
„Spitze minus Schaft“-Regel
__ › __ › __ ›
AB​= ​ OB​– ​ ​
OA​= ​( ​ ​x ​ B
​y B
​ ​ )​– ​( ​ ​x ​ A
​y A
​ ​ )​= ​( ​ ​x ​ ​– ​x​​
B A
​y ​ B
​– ​y​ A
​ ​ )​
Parallelitätskriterium: Zwei Vektoren sind genau dann zueinander parallel, wenn der eine Vektor ein Vielfaches (das
v-fache) des anderen Vektors ist. (v ∊ R)
__ › __ › __ › __ ›
​a ​∙ ​b ​⇔ ​b ​= v ∙ ​a ​
Mittelpunkt einer Strecke AB (Halbierungspunktformel)
y
Herleitung:
___ ›
OM​= ​ ​ 1_ __
2 ​ ∙ (
› __ ›
​ ​OA​+ OB​) ​ ​
___ › __ ›
​OM​= OA​+ ​ ​ 1_ __ ›
2 ​ ∙ AB​= ​
__ ›
= ​OA​+ ​ 1_ __
2 ​ ∙ (
› __ ›
​ ​OB​– OA​) ​ ​=
__ ›
= ​OA​+ ​ 1_ __ ›
2 ​ ∙ OB​– ​ ​ 1_ __ ›
2 ​ ∙ OA​= ​
= ​ 1_ __ ›
2 ​ ∙ OA​+ ​ ​ 1_ __ ›
2 ​ ∙ OB​= ​
= ​ 1_ __
2 ​ ∙ (
› __ ›
​ ​OA​+ OB​) ​ ​
__ ›
​OB​
B
​ 1_
__ ›
2 ​ ⋅ ​ ( ​
​ 1_ OA​
2 ​​ __ ›
__ ›
OA​+ ​
OB​
2 ​​ __ ›
​ 1_
M
__ ›
OB​) ​ ​
__ ›
OA​+ OB​ ​
A
__ ›
OB​ ​
Schwerpunkt im Dreieck ABC
x
Herleitung:
__ ›
​OS​= ​ 1_ __
3 ​ ∙ (
› __ › __ ›
​ ​OA​+ OB​+ ​ OC​) ​ ​
__ › __ ›
​OS​= OA​+ ​ ​ 2_ ___ ›
3 ​ ∙​​ AM​ BC
​=
__ ›
= OA​+ ​ ​ 2_
3 ​ ∙ ​( ___ › __ ›
​ OM​ BC
​– OA​)​= ​
__ ›
= OA​+ ​ ​ 2_ ___ ›
3 ​ ∙ OM​ ​ BC
​– ​ 2_ __ ›
3 ​ ∙ OA​= ​
= ​ 1_ __ ›
3 ​ ∙ OA​+ ​ ​ 2_ __
3 ​ ∙ ​1_ 2 ​ ∙ (
› __ ›
​ ​OB​+ OC​) ​ ​=
= ​ 1_ __ ›
3 ​ ∙ OA​+ ​ ​ 1_ __ ›
3 ​ ∙ OB​+ ​ ​ 1_ __ ›
3 ​ ∙ OC​= ​
= ​ 1_ __
3 ​ ∙ (
› __ › __ ›
​ ​OA​+ OB​+ ​ OC​) ​ ​
A
C
2
2
S
1
1
M AB
M BC
B
__ ›
Länge (Betrag) eines Vektors AB​= ​ ​( ​ x
y ​)​
__ › __ ›
AB​= ​ ​| ​
AB​| ​= ​ | ​( ​ x
y ​)​|​= ​√ ______
​x​ 2 ​+ ​y​ 2 ​
Ein Vektor mit der Länge (dem Betrag) 1 heißt Einheitsvektor:
__ __ › ›
​v​ 0
​= ​___
​ v ​
› ​=
​| ​v ​| ___ ​ 1 __ ›
__ › ​ ∙ ​v ​
​ ​| ​v ​| ​
__ › __ ›
Winkelsymmetrale der Vektoren ​a ​und ​b ​:
__ › __ __ › ›
​w ​= ​a​ 0
​+ ​b​ 0
​
__ ›
Steigungs-Richtungs-Regel: Zwischen der Steigung k und jedem Richtungsvektor ​g ​einer Geraden besteht der
Zusammenhang:
Links-Kipp-Regel
__ ›
​a ​= ​( ​ ​x ​ a
​y a
​ ​ )​
__ ›
​ n ​ ​= ​ ​a ​l ​ ( –​y​ a
​ ​x a
​ ​ )​
__ ›
​g ​= v ∙ ​( ​ 1
k
​)​; v ∊ R
Rechts-Kipp-Regel
__ ›
​a ​= ​( ​ ​x ​ a
​y a
​ ​ )​
__ ›
​ n ​ ​= ​ ​a ​r ​ ( ​ ​y ​ a
–​x​ a
​ )​
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VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE DER EBENE
Skalarprodukt
Orthogonalitätskriterium
__ › __ ›
Winkel φ zwischen ​g ​und ​h ​
__ › __ ›
​a ​∙ ​
b ​= ​( ​ ​x ​ a
​y a
​ ​ )​ ∙ ​( ​ ​x ​ ​ b
​y ​ b
​ ​ )​= ​x​ a
​ ∙ ​x ​ b
​+ ​y​ a
​ ∙ ​y​ b
​
__ › __ › __ › __ ›
​a ​⊥ ​b ​⇔ ​a ​∙ ​b ​= 0
__ ›
g ​∙ ​
__ ›
cos φ = _______ ​ ​ h ​
__ › __ › ​
​| ​g ​|​ ∙| ​h ​| ​
Es können auch die beiden Normalvektoren der beiden Geraden verwendet werden, da der Winkel zwischen
den beiden Normalvektoren ebenso groß sein muss wie jener zwischen den Richtungsvektoren.
Allgemeine Geradengleichung (implizit)
ax + by = c
Normalvektorsatz: Die Koeffizienten der linearen Glieder der allgemeinen Geradengleichung sind die Koordinaten
eines Normalvektors der zugehörigen Geraden.
__ ›
​n ​= ​( ​ a
b
​)​
Hauptform der Geradengleichung (explizit)
y = kx + d
Parameterdarstellung einer Geraden
__ › __ › __ ›
OX​= ​ OA​+ ​ t ∙ ​ r ​
__ ›
OX​... ​__ Stellvertreter für alle Punkte der Geraden
›
​OA​... Ortsvektor zu einem bestimmten Punkt der Geraden
t __ ... Parameter (t ∊ R)
›
​ r ​ ... Richtungsvektor der Geraden
Normalvektorform
__ › __ › __ › __ ›
​n ​∙ ​OX​= ​n ​∙ ​OP​
__ ›
​n __ ​ ... Normalvektor der Geraden
›
​OX​ __ ... Stellvertreter für alle Punkte der Geraden
›
​OP​ ... Ortsvektor zu einem bestimmten Punkt der Geraden
__ ›
Das Abtragen einer Strecke der Länge d von einem Punkt A in Richtung des Vektors ​a ​erfolgt gemäß der Formel:
__ › __ › __ ›
​OE​= OA​+ ​ d ∙ ​a​ 0
​
__ ›
OE​ ​__ ... Endpunkt
›
​OA​ ... Anfangspunkt, von dem aus Abgetragen werden soll
d ... Distanz/Länge, die Abgetragen werden soll
__ ›
​a​ 0
​ ... Einheitsvektor der Richtung, in die Abgetragen werden soll
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