Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 5.2.5 Wir betrachten wieder das Gruppenbeispiel.
f(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z)
f(x,e) → x
f(x,i(x)) → e
Die erste und die zweite Regel bilden zusammen ein kritisches Paar. Die linke Seite
f(x ′ ,e) der (variablenumbenannten) zweiten Regel unifiziert mit dem Teilterm f(y,z) der
ersten linken Regelseite f(x,f(y,z)). Der mgu ist {x ′ /y,z/e}. Dies entspricht dem Term
f(x,f(y,e)), der mit der ersten Regel zu f(f(x,y),e) und mit der zweiten Regel zu f(x,y)
reduziert werden kann. So ergibt sich das kritische Paar
〈f(f(x,y),e),f(x,y)〉. (5.7)
Die erste und die dritte Regel ergeben zusammen ebenfalls ein kritisches Paar, das
durch die Unifikation der linken Seite f(x ′ ,i(x ′ )) der (variablenumbenannten) dritten Regel
mit dem Teilterm f(y,z) der ersten linken Regelseite f(x,f(y,z)) entsteht. Hier lautet der
mgu {x ′ /y,z/i(y)}. Dies entspricht dem Term f(x,f(y,i(y))), der mit der ersten Regel zu
f(f(x,y),i(y)) und mit der dritten Regel zu f(x,e) reduziert werden kann. Man erhält
〈f(f(x,y),i(y)),f(x,e)〉. (5.8)
Schließlich erhält man durch Überlappung der ersten Regel mit sich selbst ein weiteres
kritisches Paar.BeidenRegelnf(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z)undf(x ′ ,f(y ′ ,z ′ )) → f(f(x ′ ,y ′ ),z ′ )
unifiziert die linke Regelseite f(x,f(y,z)) nämlich mit dem Teilterm f(y ′ ,z ′ ). Dadurch erhält
man den Term f(x ′ ,f(x,f(y,z))) und das kritische Paar
〈f(f(x ′ ,x),f(y,z)),f(x ′ ,f(f(x,y),z))〉 (5.9)
Aufgrund der vorangehenden Analyse ergibt sich, dass man für die lokale Konfluenz
nur die kritischen Paare auf Zusammenführbarkeit untersuchen muss. Dieser Satz gilt unabhängig
davon, ob R terminiert [Hue80].
Satz 5.2.6 (Kritisches-Paar-Lemma [KB70]) Sei R ein TES. Dann ist R genau dann
lokal konfluent, wenn alle seine kritischen Paare zusammenführbar sind.
Beweis. Der Beweis folgt aus den vorangegangenen Überlegungen, da Situationen s ← R
p → R t, die keinem kritischen Paar entsprechen, immer zusammenführbar sind. ✷
Bei terminierenden TESen R kann die Zusammenführbarkeit der kritischen Paare leicht
überprüft werden. Zu jedem kritischen Paar 〈s,t〉 berechnet man beliebige Normalformen
s ′ und t ′ der Terme s und t, d.h., s → ∗ R s′ und t → ∗ R t′ . Sofern die erhaltenen Normalformen
s ′ und t ′ identisch sind, so ist das kritische Paar zusammenführbar. Falls die Normalformen
nicht identisch sind, so ist das TES nicht konfluent, denn es existiert nach Konstruktion
der kritischen Paare ein p mit
∗
s
p ❂ ❂❂❂❂❂❂❂
t
❂ ❂❂❂❂❂❂❂
∗
s ′ t ′