Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

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✔ π ❚
✔ l 1 . ❚
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✔ ✡ l 2 ❏ ❚
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σ 1 ✡ ❏ σ ❚
✡ ❏ 1
σ 2
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Dieser Fall wird als kritische Überlappung bezeichnet. Wie aus der Betrachtung der anderen
Fälle deutlich wurde, sind dies die einzigen Situationen, die man für die Untersuchung
der lokalen Konfluenz betrachten muss, denn nur hier kann der Fall auftreten, dass die
resultierenden Terme tatsächlich nicht zusammenführbar sind.
Allgemeinentsteht einsolcher Fallimmerdann,wenneszwei Regelnl 1 → r 1 undl 2 → r 2
(die nicht notwendigerweise verschieden sein müssen), Substitutionen σ 1 und σ 2 und eine
Stelle π ∈ Occ(l 1 ) gibt, so dass l 1 | π ∉ V und l 1 | π σ 1 = l 2 σ 2 gilt. Wenn wir die Variablen
in l 1 → r 1 und in l 2 → r 2 so umbenennen, dass sie paarweise disjunkt sind, so können
wir σ 1 = σ 2 wählen. Eine kritische Überlappung entsteht also dann, wenn es zwei linke
Regelseiten l 1 ,l 2 und eine Substitution σ gibt, die l 2 und einen Nicht-Variablen-Teilterm
l 1 | π identisch macht (d.h., l 1 | π σ = l 2 σ). Mit anderen Worten, σ ist ein Unifikator von l 1 | π
und l 2 σ. Auf diese Weise entsteht die kritische Situation
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l 1 σ = l 1 [l 2 ] π σ
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r 1 σ
l 1 [r 2 ] π σ
Esgenügt,hierbei jeweils nur allgemeinste Unifikatorenvonlinken Regelseiten l 2 undNicht-
Variablen-Teiltermen l 1 | π zu betrachten, denn wenn die jeweils durch einen Auswertungsschritt
entstehenden Terme r 1 σ und l 1 [r 2 ] π σ bei der allgemeineren Substitution σ zusammenführbar
sind, danngilt diesauchbei jeder Substitution, diespezieller alsσ ist (aufgrund
der Abgeschlossenheit der Ersetzungsrelation unter Substitutionen). Wir müssen also nur
alle diejenigen Paare 〈r 1 σ,l 1 [r 2 ] π σ〉 auf Zusammenführbarkeit überprüfen, die mit solch
einem Unifikator σ entstehen. Man bezeichnet diese Paare daher als kritische Paare.
Definition 5.2.4 (Kritisches Paar [KB70]) Sei R ein TES mit l 1 → r 1 ,l 2 → r 2 ∈ R.
Hierbei seien die Variablen der beiden Regeln so umbenannt, dass V(l 1 ) ∩ V(l 2 ) = ∅ gilt.
Sei π ∈ Occ(l 1 ) mit l 1 | π ∉ V und sei σ allgemeinster Unifikator von l 1 | π und l 2 . Dann
ist 〈r 1 σ,l 1 [r 2 ] π σ〉 ein kritisches Paar von R (engl. critical pair). Die beiden Regeln l 1 →
r 1 ,l 2 → r 2 dürfen (bis auf Variablenumbenennung) identisch sein. In diesem Fall betrachtet
man jedoch nur Überlappungen mit π ≠ ǫ. Die Menge der kritischen Paare eines TES R
wird mit CP(R) bezeichnet.
Jedes (endliche) TES hat nur endlich viele kritische Paare, da man immer nur die
(endlich vielen) linken Regelseiten auf Überlappungen überprüfen muss. CP(R) kann durch
Verwendung des Unifikationsalgorithmus UNIFY aus dem vorigen Abschnitt automatisch
berechnet werden.