Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Wir treffen nun eine Fallunterscheidung danach, wie weit die beiden Redexe l 1 σ 1 und
l 2 σ 2 voneinander entfernt sind. Wir wissen ja, dass l 1 σ 1 | π = l 2 σ 2 ist. Die Frage ist nun, wie
tief die Stelle π in l 1 σ 1 liegt, d.h., ob π eine Stelle von l 1 ist, an der keine Variable steht,
oder ob π im “Substitutionsteil” liegt.
Fall 2.1: l 2 σ 2 liegt im Substitutionsteil, d.h., π ∉ Occ(l 1 ) oder l 1 | π ∈ V
Hier wird also der Teilterm p| π zwar von l 2 gematcht, aber l 1 “versteckt” diesen Teil des
Terms in einer Variable und “trägt” ihn bei der Ersetzung von l 1 σ 1 durch r 1 σ 1 “weiter”.
Die Regel l 2 → r 2 kann daher nach dieser Ersetzung immer noch angewendet werden.
Genauer folgt in diesem Fall also, dass l 1 an einer Stelle π ′ eine Variable x hat und π
unterhalb von π ′ liegt (π = π ′ ist ebenfalls möglich). Es gilt also π = π ′ π ′′ mit π ′ ∈ Occ(l 1 )
und l 1 | π ′ ∈ V (hierbei ist π ′′ = ǫ möglich). Diese Situation lässt sich durch folgendes Bild
veranschaulichen:
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l 1 ❚
σ 1
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l ✔✔
▲ 2 σ 2
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π ′
π ′′
Der Redex l 2 σ 2 ist demnach durch die Anwendung der Substitution σ 1 auf x entstanden,
denn xσ 1 | π ′′ = l 2 σ 2 . Der Term l 1 σ 1 enthält also den Redex l 2 σ 2 unterhalb aller Stellen, an
denen in l 1 die Variable x auftrat. Die Regel l 2 → r 2 ist daher so oft anwendbar, wie x in l 1
vorkam. Wenn x n-mal in l 1 auftrat, so entsteht bei (einmaliger) Anwendung von l 2 → r 2
auf unseren ursprünglichen Term p| π1 = l 1 σ 1 ein Term t| π1 , auf den die Regel l 2 → r 2
noch (n−1)-mal angewendet werden muss. Hierdurch ergibt sich schließlich ein Term l 1 σ ′ ,
auf den die andere Regel l 1 → r 1 angewendet werden kann. Falls r 1 die Variable x m-mal
enthielt, so muss die Regel l 2 → r 2 nun auch m-mal auf den Term s| π1 = r 1 σ 1 angewendet
werden, der durch Anwendung von l 1 → r 1 aus p| π1 = l 1 σ 1 entstand. Auf diese Weise lassen
sich s| π1 und t| π1 zu r 1 σ ′ zusammenführen.
Auch indiesem Fallsind die entstehenden Terme also stets zusammenführbar, aber hierzu
können mehrere Reduktionsschritte notwendig sein, da l 1 und r 1 mehrfache Vorkommen
der Variablen x enthalten können. Insgesamt erhält man folgende Situation (hier ist ein
Beispiel dargestellt, in dem x dreimal in l 1 und zweimal in r 1 auftritt):