Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Hierzu analysieren wir die verschiedenen Möglichkeiten, an welchen Stellen die Termersetzungsregeln
bei einer kritischen Situation angewendet werden. Wir gehen davon aus,
dass der Schritt p → R s mit Hilfe der Regel l 1 → r 1 an der Stelle π 1 mit der Substitution
σ 1 durchgeführt wurde. Der Term p lässt sich daher grafisch wie folgt veranschaulichen.
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✔
p
✔❚
✔ π❚
✔ . 1
❚
✔ ✡❏❏
✔ ✡ l 1 ❏
✡
✡✡ σ ❏ 1 ❏
❚
❚
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Analog dazu wurde bei dem Schritt p → R t die Regel l 2 → r 2 an der Stelle π 2 mit der
Substitution σ 2 verwendet. Wir haben also
• p| π1 = l 1 σ 1 und s = p[r 1 σ 1 ] π1
• p| π2 = l 2 σ 2 und t = p[r 2 σ 2 ] π2
Wir unterscheiden nun die verschiedenen Möglichkeiten, an welcher Stelle sich die Positionen
π 1 und π 2 in dem Term p befinden können. Wir wollen also analysieren, wie die
beiden Redexe l 1 σ 1 und l 2 σ 2 miteinander interagieren bzw. ob die Reduktion des einen Redex
den anderen Redex zerstören kann. Nur in diesem Fall kann dies zu einer Verletzung
der Konfluenz führen.
Fall 1: Die Stellen π 1 und π 2 sind voneinander unabhängig, d.h., π 1 ⊥π 2
In diesem Fall liegen die beiden Stellen nicht übereinander. Es gilt also weder π 2 ≥ IN ∗ π 1
noch π 1 ≥ IN ∗ π 2 . In diesem Fall ist die Reduktion von p zu s bzw. zu t unkritisch, denn man
hat
• p = p[l 1 σ 1 ] π1 [l 2 σ 2 ] π2
• s = p[r 1 σ 1 ] π1 [l 2 σ 2 ] π2
• t = p[l 1 σ 1 ] π1 [r 2 σ 2 ] π2
• s → R q und t → R q mit q = p[r 1 σ 1 ] π1 [r 2 σ 2 ] π2