Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Wie üblich bedeutet “s ↓ t”, dass s und t zusammenführbar sind, d.h., dass es ein q ∈ M
mit s → ∗ q ← ∗ t gibt.
Wir zeigen (5.6) durch Induktion über p. Hierzu benutzen wir noethersche Induktion
und verwenden → als Induktionsrelation. Dies ist möglich, da → nach Voraussetzung fundiert
ist. Wenn wir (5.6) für p zeigen wollen, so dürfen wir es also für alle p ′ mit p → p ′
voraussetzen.
Wir betrachten nun die “kritische Situation” s ← ∗ p → ∗ t. Falls s = p ist, so folgt
s → ∗ t und damit s ↓ t. Ebenso folgt bei p = t, dass t → ∗ s und damit s ↓ t gilt. Ansonsten
haben die beiden Reduktionsfolgen s ← ∗ p und p → ∗ t beide mindestens die Länge 1 und
somit existieren s ′ und t ′ mit
p ❃ ❃❃❃❃❃❃
s ′ t ′ ❂ ❂❂❂❂❂❂❂
∗
∗
s
t
Aufgrund der lokalen Konfluenz gibt es also ein Objekt u mit s ′ → ∗ u ← ∗ t ′ , d.h.,
p ❃ ❃❃❃❃❃❃❃
s ′ ❄ t ′ ❂
∗ ❄ ❂❂❂❂❂❂❂
∗ ∗ ∗
❄
❄
s u t
Da p → s ′ gilt, ist das Objekt s ′ “kleiner” in der Induktionsrelation als p. Die Eigenschaft
(5.6) darf daher für s ′ aufgrund der Induktionshypothese vorausgesetzt werden. Mit
anderen Worten, wenn man von s ′ aus in beliebig vielen Schritten zu zwei verschiedenen
Objekten (wie s und u) kommt, so gibt es ein Objekt v, zu dem diese beiden Objekte
zusammenführbar sind. Man erhält also
p ❃ ❃❃❃❃❃❃❃
s ′ ❄ t ′ ❂
∗ ❄ ❂❂❂❂❂❂❂
∗ ∗ ∗
❄
❄
s ❅ u t
❅ ∗ ∗
❅
❅ 7 777
v
Schließlich gilt auch p → t ′ , d.h., das Objekt t ′ ist ebenfalls “kleiner” als p in der Induktionsrelation.
Da v ← ∗ t ′ → ∗ t gilt, folgt daher aus der Induktionshypothese, dass v und t