Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

(b) Wir zeigen U(S) = U(S ′ ) falls S ′ aus S mit Hilfe der Regel “Variablenreduktion”
entsteht, da die Aussage für alle anderen Regeln offensichtlich ist. Da {x = t} in
gelöster Form ist, ist σ = {x/t} nach Lemma 5.1.6 allgemeinster Unifikator dieses
Unifikationsproblems. Für alle Substitutionen θ mit xθ = tθ gilt nach dem Lemma
demnach θ = σθ. Damit erhält man:
θ ∈ U(S ⊎{x = t}) gdw. xθ = tθ und θ ∈ U(S)
gdw. xθ = tθ und σθ ∈ U(S)
gdw. xθ = tθ und uσθ = vσθ für alle u = v ∈ S
gdw. xθ = tθ und θ ∈ U({uσ = vσ | u = v ∈ S})
gdw. θ ∈ U({uσ = vσ | u = v ∈ S}∪{x = t})
(c) Wenn S lösbar ist, kann es keine Gleichungen f(...) = g(...) mit f ≠ g enthalten,
da diese Gleichungen dem Clash Failure entsprechen würden. S kann auch keine
Gleichungen f(...) = f(...) enthalten, da sonst die “Termreduktion”-Regel anwendbar
wäre. Aus s = t ∈ S folgt daher s ∈ V oder t ∈ V. Falls s ∉ V, so wäre die
“Vertauschen”-Regel anwendbar. Somit haben alle Gleichungen in S die Form x = t.
Hierbei gilt x ∉ V(t). Der Grund ist, dass t = x nicht möglich ist, da sonst die
“Löschen”-Regel anwendbar wäre und x ∈ V(t) bei t ≠ x würde dem Occur Failure
entsprechen. Die Variable x kommt darüber hinaus in keiner anderen Gleichung aus
S vor, da sonst die “Variablenreduktion” anwendbar wäre. Somit ist S in gelöster
Form.
(d) Die Terminierung von UNIFY folgt direkt aus Teil (a). Somit berechnet UNIFY(S)
also eine Normalform von S, d.h., ein Unifikationsproblem S ′ mit S =⇒ ∗ S ′ , das in
Normalform bezüglich =⇒ ist. Durch Induktion über die Länge der Transformation
kann man mit Hilfe von Teil (b) zeigen, dass U(S) = U(S ′ ) ist. Falls S lösbar ist, ist
U(S) = U(S ′ ) ≠ ∅ und somit ist auch S ′ lösbar. Nach Teil (c) ist daher S ′ in gelöster
Form und σ S ′ ist nach Lemma 5.1.6 allgemeinster Unifikator von S ′ und daher auch
von S. Falls S nicht lösbar ist, ist U(S) = U(S ′ ) = ∅. Somit kann S ′ nicht in gelöster
Form sein und der Algorithmus gibt “False” aus.
✷
Aus diesem Satz erhält man sofort den bekannten Unifikationssatz, der sich daraus
ergibt, dass UNIFY zu jedem lösbaren Unifikationsproblem einen allgemeinsten Unifikator
berechnet.
Korollar 5.1.10 (Unifikationssatz) Wenn ein Unifikationsproblem lösbar ist, dann hat
es einen allgemeinsten Unifikator.
Die Effizienz des Algorithmus UNIFY lässt sich natürlich noch verbessern, indem man
sofort mit “False” abbricht, sobald ein Occur oder Clash Failure bemerkt wird. Durch
weitere Verbesserungen (insbesondere durch die Repräsentation der Terme als Graphen)
lässt sich sogar ein Unifikationsalgorithmus mit linearem Aufwand gewinnen.