Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Satz 5.1.9 (Korrektheit des Unifikationsalgorithmus)
Sei S ein Unifikationsproblem.
(a) Die Relation =⇒ ist fundiert.
(b) Falls S =⇒ S ′ , dann gilt U(S) = U(S ′ ).
(c) Falls S lösbar und in Normalform bezüglich =⇒ ist, dann ist S in gelöster Form.
(d) Der Algorithmus UNIFY terminiert und ist korrekt.
Beweis.
(a) Der Fundiertheitsbeweis ist nicht trivial, da durch die “Variablenreduktion” die Anzahl
der Zeichen eines Unifikationsproblems vergrößert werden kann, wie in Bsp. 5.1.8
deutlich wird.
Wir sagen, eine Variable x ist gelöst gdw. sie genau einmal in S auftritt, und zwar
auf der linken Seite einer Gleichung x = t, wobei x ∉ V(t). Wir zeigen nun die
Fundiertheitvon=⇒,indemwireineFunktionangeben,diejedesUnifikationsproblem
S auf einen Tripel (n 1 ,n 2 ,n 3 ) von natürlichen Zahlen abbildet.
– n 1 ist die Anzahl der Variablen in S, die nicht gelöst sind
– n 2 ist die Anzahl der Zeichen in S, d.h. ∑ (s= t)∈S |s|+|t|
– n 3 ist die Anzahl von Gleichungen der Form t = x in S, wobei t ∉ V.
Zur Illustration betrachten wir noch einmal das Unifikationsproblem aus Bsp. 5.1.8
und untersuchen, wie sich der Tripel (n 1 ,n 2 ,n 3 ) hier verändert.
{g(f(a),g(x,x)) = g(x,g(x,y))} =⇒ Termreduktion (2,11,0)
{f(a) = x,g(x,x) = g(x,y)} =⇒ Vertauschen (2,9,1)
{x = f(a),g(x,x) = g(x,y)} =⇒ Variablenreduktion (2,9,0)
{x = f(a),g(f(a),f(a)) = g(f(a),y)} =⇒ Termreduktion (1,12,0)
{x = f(a),f(a) = f(a),f(a) = y} =⇒ Löschen (1,10,1)
{x = f(a),f(a) = y} =⇒ Vertauschen (1,6,1)
{x = f(a),y = f(a)} (0,6,0)
Man erkennt nun, dass aus S =⇒ S ′ folgt, dass der Tripel, der zu S gehört, größer
als der Tripel zu S ′ bezüglich der Relation (> IN ) 3 lex ist. Die folgende Tabelle gibt an,
welcheZahlensichbeidenverschiedenen RegelnaufwelcheArtundWeiseverkleinern:
n 1 n 2 n 3
Löschen ≥ > =
Termreduktion ≥ >
Vertauschen ≥ = >
Variablenreduktion >