Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

dass Variablen auf der linken Seite von Gleichungen auftreten. Die Bedingung t ∉ V ist
hierbei nötig, um eine unendliche Anwendung dieser Regel zu verhindern.
Die letzte Regel verwendet Gleichungen x = t, die bereits in gelöster Form sind, um
diese Teillösung auf den Rest des Unifikationsproblems anzuwenden. Dies ist natürlich nur
sinnvoll, wenn die Variable x auch noch im restlichen Unifikationsproblem auftritt (ansonsten
ließe sich die Regel unendlich oft anwenden). Die Bedingung x ∉ V(t) bezeichnet man
als Occur Check, da sie überprüft, ob die Variable x in dem mit ihr zu unifizierenden Term
t vorkommt. Falls dies der Fall wäre und t ≠ x ist, so wäre das Unifikationsproblem nicht
lösbar und man spricht von einem Occur Failure. Der Grund ist, dass bei jeder Substitution
σ der Term xσ immer ein echter Teilterm von tσ ist. Ein Beispiel ist das (unlösbare)
Unifikationsproblem x = f(x).
Es gibt insgesamt zwei Gründe, warum ein Unifikationsproblem unlösbar sein kann.
Neben dem Occur Failure gibt es den Clash Failure, der entsteht, wenn zwei Terme mit
verschiedenem führendem Funktionssymbol miteinander unifiziert werden sollen. Beispielsweise
sind f(x) und g(y,z) offensichtlich nicht miteinander unifizierbar.
Beispiel 5.1.8 Das folgende Beispiel illustriert die Arbeitsweise der obigen Regeln, um
das Unifikationsproblem g(f(a),g(x,x)) = g(x,g(x,y)) zu lösen:
{g(f(a),g(x,x)) = g(x,g(x,y))} =⇒ Termreduktion
{f(a) = x,g(x,x) = g(x,y)} =⇒ Vertauschen
{x = f(a),g(x,x) = g(x,y)} =⇒ Variablenreduktion
{x = f(a),g(f(a),f(a)) = g(f(a),y)} =⇒ Termreduktion
{x = f(a),f(a) = f(a),f(a) = y} =⇒ Löschen
{x = f(a),f(a) = y} =⇒ Vertauschen
{x = f(a),y = f(a)}
Manerkennt,dassaufdieseWeisedasUnifikationsproblemingelösteFormüberführtwurde.
Mit Hilfe der Transformationsregeln aus Def. 5.1.7 erhält man direkt einen Unifikationsalgorithmus,
vgl. [Rob65, MM82]. Hierzu wendet man auf das zu lösende Unifikationsproblem
S beliebig Transformationsregeln an, solangedies möglich ist. Hierbei gibt esnatürlich
Indeterminismen, da man z.B. im obigen Beispiel im dritten Schritt auch “Termreduktion”
vor der “Variablenreduktion” hätte anwenden können. Sofern man zum Schluss ein Unifikationsproblem
S ′ in gelöster Form erhält, so liest man daraus den Unifikator σ S ′ ab, der
dann auch ein allgemeinster Unifikator für das ursprüngliche Problem ist. Ist das Resultat
nicht in gelöster Form, so ist das Unifikationsproblem nicht lösbar.
Algorithmus UNIFY(S)
Eingabe: Ein Unifikationsproblem S.
Ausgabe: Ein allgemeinster Unifikator von S, sofern S lösbar ist und sonst “False”.
1. Solange es ein S ′ mit S =⇒ S ′ gibt, setze S := S ′ und gehe zu 1.
2. Falls S in gelöster Form ist, dann gib σ S aus.
Sonst gib “False” aus.
Der folgende Satz zeigt die Korrektheit des Verfahrens.