Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Lemma 5.1.4 (Darstellung der Lösungen eines Unifikationsproblems) Sei S ein
Unifikationsproblem über Σ und V und sei σ ein allgemeinster Unifikator von S. Dann
gilt U(S) = {σδ|δ ∈ SUB(Σ,V)}.
Beweis. Da σ Unifikator ist, gilt für alle s = t ∈ S jeweils sσ = tσ und somit auch
sσδ = tσδ. Andererseits existiert für jeden Unifikator σ ′ von S eine Substitution δ mit
σ ′ = σδ.
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Wir führen nun ein Verfahren ein, das zu einem Unifikationsproblem entscheidet, ob
es lösbar ist und gegebenenfalls einen allgemeinsten Unifikator berechnet. Die Idee besteht
darin, das Unifikationsproblem so zu transformieren, bis es in einer “gelösten Form” ist,
aus der man die Lösung unmittelbar ablesen kann.
Definition 5.1.5 (Gelöste Form eines Unifikationsproblems) Ein Unifikationsproblem
S = {x 1 = t 1 ,...,x n = t n } ist in gelöster Form gdw. die x i paarweise verschiedene
Variablen sind, die in den Termen t 1 ,...,t n nicht vorkommen. Zu einem Unifikationsproblem
in gelöster Form wie oben definieren wir die Substitution σ S = {x 1 /t 1 ,...,x n /t n }.
Der Vorteil von Unifikationsproblemen S in gelöster Form ist, dass die entsprechende
Substitution σ S ein allgemeinster Unifikator ist.
Lemma 5.1.6 (Lösung eines Unifikationsproblems in gelöster Form) Sei S ein
Unifikationsproblem in gelöster Form. Dann ist σ S ein allgemeinster Unifikator von S,
wobei für alle Unifikatoren σ ′ von S jeweils σ ′ = σ S σ ′ gilt.
Beweis. Dadie x i nicht indent i auftreten, folgtx i σ S = t i = t i σ S , d.h., σ S ist einUnifikator
von S. Sei nun σ ′ ein weiterer Unifikator von S. Zu zeigen ist, dass dann σ ′ = σ S σ ′ gilt:
Für x i gilt x i σ ′ = t i σ ′ = x i σ S σ ′ . Für sonstige Variablen x gilt xσ ′ = xσ S σ ′ . ✷
Zur Lösung von Unifikationsproblemen geben wir nun ein Verfahren an, um ein Unifikationsproblem
in gelöste Form zu überführen. Hierzu führen wir die folgende Transformation
von Unifikationsproblemen ein:
Definition 5.1.7 (Transformation von Unifikationsproblemen) Wir definieren die
folgende Relation =⇒ auf Unifikationsproblemen durch vier Transformationsregeln.
Löschen S ⊎{t = t} =⇒ S
Termreduktion S ⊎{f(s 1 ,..,s n ) = f(t 1 ,..,t n )} =⇒ S ∪{s 1 = t 1 ,...,s n = t n }
Vertauschen S ⊎{t = x} =⇒ S ∪{x = t}, falls t ∉ V
Variablenreduktion S ⊎{x = t} =⇒ {uσ = vσ | u = v ∈ S}∪{x = t},
falls σ = {x/t},x ∉ V(t),x ∈ V(S)
Hierbei bezeichnet ⊎ die disjunkte Vereinigung, so dass die bearbeitete Gleichung aus
dem aktuellen Unifikationsproblem (gegebenenfalls) entfernt wird. Die erste Regel löscht
triviale Gleichungen, die nicht zum Unifikationsproblem beitragen. Die zweite Regel ersetzt
Gleichungen zwischen Termen, die mit demselben Funktionssymbol gebildet werden, durch
die Gleichungen zwischen ihren Argumenten. Die dritte Regel orientiert Gleichungen so,