Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Das bedeutet, dass auch k Variablen aus {x 1 ,...,x n } nicht in {y 1 ,...,y n } auftreten.
Diese Variablen seien x j1 ,...,x jk . Um ρ zu eine Variablenumbenennung δ zu erweitern,
fügen wir nun die Variablen y i1 ,...,y ik dem Domain hinzu. Damit die entstehende Substitution
injektiv wird, müssen wir diese Variablen auf solche Variablen abbilden, auf die
bislang keine Variable aus dem Domain abgebildet wird. Daher werden die neuen Variablen
y i1 ,...,y ik auf die Variablen x j1 ,...,x jk abgebildet. Die genaue Zuordnung von y il zu x jd
ist unerheblich, solange jedes x jd genau einem y il zugeordnet wird. Wir definieren daher
z.B.
δ = ρ∪{y i1 /x j1 ,...,y ik /x jk } = {x 1 /y 1 ,...,x n /y n ,y i1 /x j1 ,...,y ik /x jk }.
Um diese Konstruktion an einem Beispiel zu illustrieren, sei σ = {v/u,w/v} und
σ ′ = {u/v}. Es existieren Substitutionen ρ und ρ ′ mit σ ′ = σρ und σ = σ ′ ρ ′ , nämlich
ρ = {u/v,v/w} und ρ ′ = {v/u,w/v}. Die Substitutionen ρ und ρ ′ sind aber nicht injektiv
unddaher keine Variablenumbenennungen. Beispielsweise gilt vρ = w = wρundv ≠ w. Für
die Substitution ρ existiert eine Variable y i1 (nämlich w), die zwar für eine andere Variable
substituiert wird, aber selbst nicht in DOM(ρ) auftritt. Ebenso existiert daher auch eine
Variable x j1 (nämlich u), die bisher nicht auf der rechten Seite eines Substitutionspaars von
ρ auftritt. Wir bilden daher aus ρ die Variablenumbenennung δ, indem wir ρ um das Substitutionspaar
w/u ergänzen. So ergibt sich die Variablenumbenennung δ = {u/v,v/w,w/u},
für die weiterhin σ ′ = σδ gilt.
In unserem Beweis müssen wir nun die folgenden Aussagen im allgemeinen Fall zeigen:
σ ′ = σδ (5.3)
xδ ∈ V für alle x ∈ V (5.4)
Aus uδ = vδ folgt u = v für alle u,v ∈ V. (5.5)
Die Aussage (5.3) ergibt sich, da für alle x ∈ VRAN(σ) immer xδ = xρ gilt. Der
Grund ist, dass sich δ von ρ nur auf den Variablen y i1 ,...,y ik unterscheidet. Es gilt jedoch
y il ∉ VRAN(σ), denn ansonsten hätte man x il ρ = y il und y il ρ = y il im Widerspruch zur
Injektivität von ρ auf VRAN(σ), vgl. (5.2).
DieAussage (5.4)ergibt sich, daallex i undalley i Variablensind(nach(5.1)).DieInjektivität(Aussage5.5)zeigtmanwiefolgt:Fallsu,v
∈ DOM(δ)sind,sofolgtdieAussagedaraus,
dass die rechten Seiten der Substitutionspaare (d.h., die Variablen y 1 ,...,y n ,x j1 ,...,
x jk ) paarweise verschieden sind. Falls u,v ∉ DOM(δ) sind, so folgt die Aussage trivialerweise.
Falls nun u ∈ DOM(δ) und v ∉ DOM(δ) sind, so gilt nach der Definition von δ auch
uδ ∈ DOM(δ) und vδ = v ∉ DOM(δ). Dann können aber uδ und vδ nicht gleich sein. Der
Fall u ∉ DOM(δ) und v ∈ DOM(δ) ist analog.
✷
Im Beispiel gibt es tatsächlich eine Variablenumbenennung δ mit σ = σ 3 δ und σ 3 = σδ,
nämlich δ = {x/z,z/x}.
Es wird sich herausstellen, dass jedes lösbare Unifikationsproblem auch allgemeinste
Unifikatoren besitzt. Mit einem allgemeinsten Unifikator σ kann man dann die (potentiell
unendliche) Menge der Lösungen des Unifikationsproblems endlich repräsentieren. Die
Unifikatoren sind gerade alle Spezialisierungen von σ, d.h., σ und alle Substitutionen, die
weniger allgemein als σ sind.