Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

fikator von g(f(x),y) und g(y,f(z)). Wir lassen im Folgenden das Kompositionszeichen “◦”
oft weg. Dann bezeichnet “σδ” die Substitution “σ◦δ” und man hat tσδ = (tσ)δ = t(σ◦δ).
Definition 5.1.2 (Allgemeinster Unifikator) Eine Substitution σ ist allgemeiner als
eine Substitution σ ′ gdw. es eine Substitution δ mit σ ′ = σ ◦ δ gibt. Eine Substitution σ
ist allgemeinster Unifikator (engl. most general unifier, mgu) eines Unifikationsproblems S
gdw. σ ∈ U(S) ist und σ allgemeiner als alle σ ′ ∈ U(S) ist.
In der Tat ist im obigen Beispiel auch σ 3 ein allgemeinster Unifikator von g(f(x),y) und
g(y,f(z)).Der allgemeinste Unifikator eines Unifikationsproblems ist aber bisauf Variablenumbenennungen
eindeutig.
Lemma 5.1.3 (Eindeutigkeit allgemeinster Substitutionen) Seien σ und σ ′ zwei
Substitutionen. Falls σ allgemeiner als σ ′ und σ ′ allgemeiner als σ ist, so existiert eine
Variablenumbenennung δ mit σ ′ = σδ. Hierbei wird eine Substitution δ als Variablenumbenennung
bezeichnet, falls δ injektiv ist und xδ ∈ V für alle x ∈ V gilt.
Beweis. Da σ allgemeiner als σ ′ und umgekehrt ist, existieren Substitutionen ρ und ρ ′
mit σ ′ = σρ und σ = σ ′ ρ ′ . Hierbei kann man offensichtlich ρ so wählen, dass DOM(ρ) ⊆
VRAN(σ) ist. Hierbei bezeichnet VRAN(σ) die Variablen im Range von σ, d.h., VRAN(σ)
= V({yσ|y ∈ V}). (Üblicherweise wird beim Range nur yσ für alle y ∈ DOM(σ) betrachtet;
wir benötigen hier jedoch yσ für alle y ∈ V.)
Man erhält σ = σ ′ ρ ′ = σρρ ′ und damit x = xρρ ′ für alle x ∈ VRAN(σ). Damit gilt:
xρ ∈ V für alle x ∈ V (5.1)
Hierzu betrachten wir die beiden Fälle x ∈ DOM(ρ) und x ∉ DOM(ρ). Für x ∈ DOM(ρ)
gilt x ∈ VRAN(σ). Wäre xρ ∉ V, so wäre auch xρρ ′ ∉ V und somit xρρ ′ ≠ x. Für
x ∉ DOM(ρ) gilt xρ = x ∈ V.
Außerdem ist ρ injektiv auf VRAN(σ). Es gilt also
Aus uρ = vρ folgt u = v für alle u,v ∈ VRAN(σ). (5.2)
Der Grund ist, dass aus uρ = vρ dann auch uρρ ′ = vρρ ′ folgt. Damit ergibt sich u = uρρ ′ =
vρρ ′ = v.
Allerdings ist ρ nicht unbedingt auf ganz V injektiv und somit noch nicht unbedingt
eine Variablenumbenennung. Die Substitution ρ hat die Gestalt
ρ = {x 1 /y 1 ,...,x n /y n }
wobei alle y i Variablen sind (nach (5.1)) und aufgrund der Injektivität (5.2) sind alle y i
paarweise verschieden. Außerdem gilt DOM(ρ) = {x 1 ,...,x n } ⊆ VRAN(σ).
Die Verletzung der Injektivität liegt daran, dass es Variablen y i geben kann, die nicht in
{x 1 ,...,x n } auftreten. Dann gilt nämlich x i ρ = y i und y i ρ = y i und somit ist ρ nicht injektiv.
Aus diesem Grund müssen wir ρ so zu einer Substitution δ erweitern (bzw. verändern),
dass auch solche Variablen y i in den Domain mit aufgenommen werden. Seien y i1 ,...,y ik
die Variablen aus {y 1 ,...,y n }, die nicht im Domain {x 1 ,...,x n } von ρ auftreten. Hierbei
seien die y il paarweise verschieden, d.h., es gibt k solche Variablen y i .