Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

werden. Ebenso bedeutete das Wortproblem s ≡ E t, dass in allen Modellen A von E bei
allen Variablenbelegungen s und t gleich interpretiert werden. Bislang haben wir also die
Variablen in Termen immer als implizit allquantifiziert betrachtet.
DieUnifikation entspricht hingegen eher einem “Erfüllbarkeitsproblem”. Im allgemeinen
wird hier untersucht, ob es zu einer Algebra A (bzw. einer Menge von Algebren) eine
Substitution σ gibt, so dass A |= sσ ≡ tσ gilt. Je nachdem, welche Algebra A bzw. welche
MengevonAlgebrenmanbetrachtet,kanndiesesProblementscheidbar oderunentscheidbar
sein und es existieren jeweils unterschiedliche Unifikationsalgorithmen.
Wir wollen im folgenden die einfachste Unifikationsproblematik untersuchen. Hierbei
wird überprüft, ob es eine Substitution σ gibt, so dass die Gleichung sσ ≡ tσ in allen
Algebren gilt. Mit anderen Worten, man untersucht, ob man durch eine geeignete Substitution
σ die beiden Terme s und t syntaktisch gleich machen kann. Beispielsweise ist
das Unifikationsproblem g(f(x),y) = g(y,f(z)) lösbar und hat unter anderem die Lösung
σ = {x/z,y/f(z)}. Solche Lösungssubstitutionen bezeichnet man als Unifikatoren. Die folgende
Definitionführt die benötigten Begriffe ein, wobei wir im folgenden nicht nur einzelne
Gleichungen, sondern Systeme von Gleichungen als Unifikationsprobleme betrachten.
Definition 5.1.1 (Unifikation) Zwei Terme s und t sind unifizierbar, falls es eine Substitution
σ mit sσ = tσ gibt. Solch eine Substitution heißt ein Unifikator von s und t.
Ein Unifikationsproblem über Σ und V ist eine endliche Menge von Termgleichungen
S = {s 1 = t 1 ,...,s n = t n } mit s i ,t i ∈ T (Σ,V). Eine Substitution σ ist eine Lösung oder
ein Unifikator des Unifikationsproblems S gdw. s i σ = t i σ für alle 1 ≤ i ≤ n gilt. Die Menge
aller Unifikatoren von S bezeichnen wir mit U(S).
Wir benötigen die Unifikation, um die Konfluenz von TESen zu überprüfen und um
TESe zu vervollständigen. Unifikation spielt aber auch in anderen Bereichen der Informatik
eine wichtige Rolle. Beispielsweise ist Unifikation der Grundmechanismus bei der Auswertungvonlogischen
Programmen(z.B. inderSprache prolog),vgl. [Gie06].Außerdem wird
Unifikation im Bereich des automatischen Beweisens (z.B. für den sogenannten Resolutionskalkül)
benötigt. Weiterhin wird Unifikation bei der Implementierung von polymorph
getypten Programmiersprachen zur Typinferenz und -überprüfung verwendet, vgl. [Gie05].
Dies ist beispielsweise bei den meisten modernen funktionalen Sprachen wie haskell oder
ml der Fall.
Dieobenskizzierte Frageder (syntaktischen) Unifikationist entscheidbar unddieMenge
aller Unifikatoren zu einem Unifikationsproblem lässt sich auf endliche Weise charakterisieren.
Im allgemeinen kann ein Unifikationsproblem natürlich mehrere Unifikatoren haben.
Das obige Unifikationsproblem g(f(x),y) = g(y,f(z)) hat neben der Lösung σ =
{x/z,y/f(z)} z.B. auch die Lösungen σ 1 = {x/a,y/f(a),z/a}, σ 2 = {x/f(z),y/f(f(z)),
z/f(z)} und σ 3 = {z/x,y/f(x)}. Die Substitutionen σ und σ 3 sind insofern allgemeiner
als die anderen beiden Substitutionen, da hier nur solche Variablen ersetzt werden, die unbedingt
ersetzt werden müssen. Man nennt eine Substitution σ allgemeiner als eine andere
Substitution σ 1 , wenn σ 1 eine Spezialisierung von σ ist, d.h., falls man den Effekt von σ 1
erhält, indem man erst σ anwendet und anschließend die Variablen möglicherweise weiter
instantiiert. In der Tat gilt σ 1 = σ ◦δ 1 , wobei δ 1 = {z/a} ist. Ebenso gilt σ 2 = σ ◦δ 2 mit
δ 2 = {z/f(z)} und σ 3 = σ◦δ 3 mit δ 3 = {z/x}. Die Substitution σ ist ein allgemeinster Uni-