Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Kapitel 5
Konfluenz von
Termersetzungssystemen
Wie in Abbildung 3.1 illustriert, benötigen wir neben Techniken zur Überprüfung der Terminierung
auch ein Verfahren, um die Konfluenz von Termersetzungssystemen zu untersuchen.
Allgemein sind solche Techniken von Interesse, weil sie verwendet werden können, um
Programme oder Berechnungsformalismen auf ihre Eindeutigkeit zu untersuchen.
Ebenso wie die Terminierung ist auch die Frage der Konfluenz im allgemeinen unentscheidbar.
Für terminierende TESe ist es aber entscheidbar, ob sie konfluent sind. Sofern
wir also bereits die Terminierung eines TES (z.B. mit den Techniken des vorigen Kapitels)
nachgewiesen haben, so lernen wir nun eine Methode kennen, die automatisch herausfinden
kann, ob das TES konfluent ist. In unserem Vorgehen zur Konstruktion konvergenter
TESe (Abb. 3.1) wird immer zuerst die Terminierung sicher gestellt, so dass die Frage der
Konfluenz hier tatsächlich entschieden werden kann.
Das Verfahren zur Untersuchung der Konfluenz (ebenso wie das Vervollständigungsverfahren
im nächsten Kapitel) beruht auf der Verwendung der Unifikation. Darüber hinaus
ist Unifikation von Termen auch in vielen weiteren Bereichen (außerhalb von Termersetzungssystemen)
von großer Bedeutung. Wir stellen daher in Abschnitt 5.1 zuerst einen
Unifikationsalgorithmus vor. Hierbei gehen wir auch darauf ein, wie dieser Algorithmus als
Matchingalgorithmus verwendet werden kann. Matching von Termen wird natürlich immer
benötigt, um die Termersetzungsrelation zu implementieren. Anschließend betrachten
wir dann in Abschnitt 5.2 das Verfahren zur Konfluenzuntersuchung (bei terminierenden
TESen). Schließlich zeigen wir in Abschnitt 5.3 ein hinreichendes Kriterium, um auch bei
nicht-terminierenden TESen die Konfluenz nachzuweisen. Dieses Kriterium wird insbesondere
in der funktionalen Programmierung verwendet.
5.1 Unifikation
Die Frage der Unifikation untersucht, ob es zu zwei Termen s und t eine Substitution σ
gibt, so dass sσ = tσ gilt. Bislang haben wir immer die Gültigkeit von Gleichungen in
Algebren (bzw. in einer Menge von Algebren) untersucht. Dabei bedeutete A |= s ≡ t,
dass für alle Variablenbelegungen die Terme s und t in der Algebra A gleich gedeutet
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