Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Kapitel 2
Grundlagen
In diesem Kapitel legen wir die Sprache der Terme und Gleichungen fest, die wir im Folgenden
zur Formulierung von Aussagen und von Programmen (Termersetzungssystemen)
verwenden werden. Hierzu verwenden wir eine Teilmenge der Prädikatenlogik 1. Stufe. Gleichungen
entsprechen dannsogenanntenuniversellen atomarenFormelnderPrädikatenlogik.
In Abschnitt 2.1 wird die Syntax von Termen und Gleichungen erläutert und in Abschnitt
2.2 stellen wir die Semantik vor, d.h., wir definieren, was es bedeutet, dass eine Gleichung
aus einer Menge von Axiomen folgt. Diese beiden Abschnitte dienen vor allem auch dazu,
um die im Folgenden verwendeten Notationen einzuführen.
2.1 Syntax von Gleichungssystemen
Die Syntax legt fest, aus welchen Zeichenreihen die Ausdrücke einer Sprache bestehen. Wir
betrachten die Sprache der Gleichungen zwischen Termen. Hierzu definieren wir zunächst
das Alphabet, aus dem Terme (d.h., Ausdrücke unserer Sprache) gebildet werden.
Definition 2.1.1 (Signatur) Eine Signatur Σ = ⋃ i∈IN Σ i ist eine Vereinigung von paarweise
disjunkten endlichen Mengen Σ i . Jedes f ∈ Σ i heißt i-stelliges Funktionssymbol. Die
Elemente von Σ 0 werden auch Konstanten genannt. Wir verlangen stets, dass Σ endlich
ist und dass Σ 0 ≠ ∅ gilt.
Beispiel 2.1.2 Ein Beispiel für eine Signatur ist Σ 0 = {O}, Σ 1 = {succ}, Σ 2 = {plus,
times}.
Nundefinieren wir,wie manDatenobjekteinunserer Sprache repräsentiert. DerEinfachheit
halber betrachten wir nur den unsortierten Fall (d.h., Terme sind nicht typisiert). Die
Konzepte der Termersetzung lassen sich aber leicht auf Sorten erweitern.
Definition 2.1.3 (Term) Sei Σ eine Signatur und V eine nicht-leere (abzählbar) unendliche
Menge mit V ∩Σ = ∅. Die Elemente von V heißen Variablen.
T (Σ,V) bezeichnet die Menge aller Terme (über Σ und V). Hierbei ist T(Σ,V) die
kleinste Teilmenge von (Σ∪V ∪{(, ),“,” }) ∗ mit
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