Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 4.4.19 Betrachten wir noch einmal das Additions-TES aus Bsp. 4.4.8.
sum(O,y) → y
sum(succ(x),y) → sum(x,succ(y))
In Bsp. 4.4.8 wurde die Terminierung mit Hilfe der lexikographischen Pfadordnung gezeigt.
Hingegen gelingt der Beweis mit der rekursiven Pfadordnung nicht. Für die zweite
Regel müsste man sum(succ(x),y) ≻ rpo sum(x,succ(y)) und daher {succ(x),y}(≻ rpo ) mul
{x,succ(y)} zeigen. In diesem Fall wäre X die gesamte erste und Y die gesamte zweite Multimenge.
Es gibt aber nicht zu jedem Element der zweiten Multimenge ein größeres Element
in der ersten Multimenge, denn es gilt sowohl succ(x) ⊁ rpo succ(y) als auch y ⊁ rpo succ(y).
Wie bei der lexikographischen Pfadordnung erwähnt, kann man jedes Funktionssymbol
mit einem Status versehen, der angibt, in welcher Reihenfolge seine Argumente lexikographisch
verglichen werden sollen. DasKonzept des Status kannnun so erweitert werden, dass
man die lexikographische und die rekursive Pfadordnung verbindet. Dann gibt es neben den
lexikographischen Status-Möglichkeiten nun auch die Möglichkeit, dass der Status angibt,
dass die Argumente eines Funktionssymbols als Multimenge zu vergleichen sind. Die so
entstehenden Ordnungen bezeichnet man als rekursive Pfadordnungen mit Status (RPOS)
≻ rpos . All diese Ordnungen sind wieder Reduktionsordnungen, die die Einbettungsordnung
enthalten (d.h., es handelt sich um Simplifikationsordnungen) und es lässt sich automatisch
überprüfen, ob es eine Präzedenz und eine geeignete Wahl für den Status der Funktionssymbole
gibt, so dass l ≻ rpos r für alle Regeln l → r gilt, vgl. [Der87, Ste95]. Hiermit erhält
man also ein noch mächtigeres automatisches Terminierungsverfahren. Die Terminierung
des TES, das sowohl die sum-Regeln aus Bsp. 4.4.19 als auch die plus-Regeln aus Bsp.
4.4.17 enthält, lässt sich beispielsweise weder mit der lexikographischen noch mit der rekursiven
Pfadordnung alleine beweisen. Verwendet man hingegen eine rekursive Pfadordnung
mit Status, wobei man die Argumente von sum lexikographisch von links nach rechts und
die Argumente von plus als Multimenge vergleicht, so kann man die Terminierung leicht
(automatisch) zeigen.
Die Frage, ob es eine rekursive Pfadordnung mit Status gibt, mit der man die Terminierung
eines gegebenen TES nachweisen kann, ist entscheidbar. Dieses automatische Terminierungsverfahren
lässt sich nicht nur für TESe verwenden, sondern es lässt sich direkt bei
funktionalen Programmiersprachen einsetzen und auch auf andere (z.B. imperative) Programmiersprachen
erweitern [BG99]. Da die Terminierung von TESen aber unentscheidbar
ist, folgt damit sofort, dass es sich hierbei nur um ein unvollständiges Verfahren handelt.
Es gibt also TESe, die zwar terminieren, deren Terminierung aber nicht mit rekursiven
Pfadordnungen nachgewiesen werden kann. Ein Beispiel hierfür ist das folgende System.
plus(succ(succ(x)),succ(y)) → succ(plus(x,succ(succ(y))))
plus(succ(x),succ(succ(y))) → succ(plus(succ(succ(x)),y))
Neben solchen rekursiven Pfadordnungen, wie sie in diesem Abschnitt vorgestellt wurden,
gibt es aber auch noch andere Arten von Simplifikationsordnungen, die ebenfalls für
automatische Terminierungsbeweise eingesetzt werden (z.B. die Knuth-Bendix Ordnung