Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

≻ widerspricht.
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Wenn wir zwei Terme f(s 1 ,...,s n ) und f(t 1 ,...,t n ) mit dem gleichen Funktionssymbol
vergleichen, wurde in der Einbettungsordnung s i ≻ t i für ein i und s j ≽ t j für alle j ≠ i
gefordert. In der lexikographischen Pfadordnung wurden stattdessen die Argumenttupel
(s 1 ,...,s n ) und (t 1 ,...,t n ) lexikographisch verglichen. Wir definieren nun die rekursive
Pfadordnung (oder “Multimengenpfadordnung”), in der wir stattdessen die Multimenge
der Argumente {s 1 ,...,s n } mit der Multimenge {t 1 ,...,t n } vergleichen.
Definition 4.4.16 (Rekursive Pfadordnung [Der82]) Für eine Signatur Σ und eine
fundierte Ordnung (“Präzedenz”) ❂ über Σ ist die rekursive Pfadordnung (RPO) ≻ rpo
über T (Σ,V) definiert als s ≻ rpo t gdw.
• s = f(s 1 ,...,s n ) und s i ≽ rpo t für ein i ∈ {1,...,n} oder
• s = f(s 1 ,...,s n ), t = g(t 1 ,...,t m ), f ❂ g und f(s 1 ,...,s n ) ≻ rpo t j für alle j ∈
{1,...,m} oder
• s = f(s 1 ,...,s n ), t = f(t 1 ,...,t n ) und {s 1 ,...,s n }(≻ rpo ) mul {t 1 ,...,t n }.
Hierbei bezeichnet ≽ rpo die reflexive Hülle von ≻ rpo , d.h., die Relation mit s ≽ rpo t gdw.
s ≻ rpo t oder s = t.
Beispiel 4.4.17 Betrachten wir wieder das TES aus Bsp. 4.4.10.
plus(O,y) → y
plus(succ(x),y) → succ(plus(y,x))
Mit der rekursiven Pfadordnung lässt sich nun zeigen, dass linke Seiten jeweils größer als die
dazugehörigen rechten Seiten sind. Für die erste Regel ist dies trivial. Für die zweite Regel
benötigt man die Präzedenz plus ❂ succ und muss dann zeigen, dass plus(succ(x),y) ≻ rpo
plus(y,x) ist. Dies bedeutet, dass {succ(x),y}(≻ rpo ) mul {y,x} bewiesen werden muss. Hier
wurde die Teilmenge X = {succ(x)} der ersten Multimenge durch die Teilmenge Y = {x}
in der zweiten Multimenge ersetzt. Nach der Definition der Multimengenordnung muss
man also nachweisen, dass es für jedes Element aus Y ein dazu größeres in X gibt. Da
offensichtlich succ(x) ≻ rpo x gilt, ist damit plus(succ(x),y) ≻ rpo plus(y,x) bewiesen.
Die rekursive Pfadordnung lässt sich ebenfalls zu Terminierungsbeweisen verwenden,
denn da die verwendete Präzedenz ❂ eine fundierte Ordnung ist, handelt es sich wieder um
eine Simplifikations- und damit eine Reduktionsordnung. Der Beweis davon ist ähnlich zum
Beweis von Satz 4.4.9.
Satz 4.4.18 (Eigenschaften der rekursiven Pfadordnung) Die rekursive Pfadordnung
≻ rpo ist eine Simplifikations- und somit eine Reduktionsordnung.
Bsp. 4.4.17 zeigt, dass es TESe gibt, bei denen der Terminierungsbeweis mit der rekursiven
Pfadordnung geführt werden kann, wohingegen der Beweis mit der lexikographischen
Pfadordnung scheitert. Umgekehrt gibt es aber auch viele Beispiele, wo man die lexikographische
Pfadordnung benötigt und die rekursive Pfadordnung nicht erfolgreich ist.