Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

gilt s ≻ t. Der Baum hat außerdem endlichen Verzweigungsgrad und somit folgt aus dem
Lemma von König (Satz 4.1.3), dass er einen unendlichen Pfad besitzt. Dieser unendliche
Pfad ergibt dann aber eine unendliche absteigende ≻-Folge, was der Fundiertheit von ≻
widerspricht.
Wir müssen nun angeben, wie wir den unendlichen Baum erzeugen. Hierzu ist es hilfreich,
bei den Markierungen der Knoten noch ein weiteres Objekt ⊥ mit ⊥ ∉ T zuzulassen.
Wir definieren also T ⊥ = T∪{⊥} und markieren die Knoten des zu konstruierenden Baums
mit Werten aus T ⊥ . Auch die Relation ≻ wird auf T ⊥ erweitert, indem wir t ≻ ⊥ für alle
t ∈ T definieren. Damit bleibt die Fundiertheit von ≻ offensichtlich erhalten.
Nun geben wir an, wie man sukzessive den unendlichen Baum konstruiert. Im i-ten
Schritt der Konstruktion sind die nicht mit ⊥ markierten Blätter des Baums gerade mit den
Elementen von M i markiert. Der initiale Baum (im 0-ten Schritt) hat eine nicht markierte
Wurzel und darunter einen Nachfolger für jedes Element aus M 0 . Wenn also M 0 = {3,6,8}
ist, dann sieht der Baum wie folgt aus:
❃ ❃❃❃❃❃❃❃
3 6 8
Da M 0 endlich ist, ist der Verzweigungsgrad des initialen Baums ebenfalls endlich.
Da M 0 ≻ mul M 1 gilt, gibt es endliche Multimengen X und Y wie in Def. 4.4.13. Für
jedes y ∈ Y fügen wir einen neuen Knoten mit der Markierung y hinzu und machen daraus
ein Kind eines bisherigen Blatts x ∈ X mit x ≻ y. Nach Voraussetzung muss es ein solches
x ∈ X geben und nach der Konstruktion war der entsprechende Knoten bisher ein Blatt.
Außerdem erhält jeder Knoten x ∈ X ein weiteres Kind mit der Markierung ⊥. Wenn
M 1 = {4,5,6,6,7,7} ist, dann ergibt sich X = {3,8} und Y = {4,5,6,7,7}. Der Baum
wird also wie folgt ergänzt:
❃ ❃❃❃❃❃❃❃
8 8888888
3 6 8
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❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲❲
❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳
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⊥ 4 5 6 7 7 ⊥
Dieser Prozess wird dann für M 2 ,M 3 ,... unendlich oft wiederholt. Der Verzweigungsgradbleibt
dabei endlich, daalleM i endlich sind. DieAnzahl der KnotendesBaums wächst
aberinjedemSchritt (damindestens ein⊥-Knotenangefügtwird,selbst dann,wennY = ∅
ist). Aufgrund des Lemmas von König gibt es also einen unendlichen Pfad in dem entstehenden
Baum. Außerdem werden die Knoten auf jedem Pfad immer bezüglich ≻ kleiner
(sofern man den Wurzelknoten ignoriert). Die Folge der Knotenmarkierungen auf dem unendlichen
Pfad liefert daher eine unendlich absteigende ≻-Folge, was der Fundiertheit von