Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 4.4.12 Sei M,N ∈ M(IN) mit M = {1,1,4} und N = {1,2,2,4,4,5}. Dann gilt:
• M ⊈ N und N ⊈ M
• M ∪N = {1,1,1,2,2,4,4,4,5}
• M ∩N = {1,4}
• M \N = {1}
• N \M = {2,2,4,5}
Jede Relation ≻ auf einer Menge T kann zu einer Relation ≻ mul zwischen Multimengen
von Elementen aus T erweitert werden. Die Idee hierbei ist, dass M ≻ mul N gilt, falls N
aus M entsteht, indem einige Elemente von M durch (beliebig viele) ≻-kleinere Elemente
ersetzt werden.
Definition 4.4.13 (Multimengenrelation) Sei ≻ eine Relation auf T, d.h., ≻ ⊆ T×T.
Dann ist die Relation ≻ mul ⊆ M(T) × M(T) definiert als M ≻ mul N gdw. es existieren
X,Y ∈ M(T) mit
• ∅ ≠ X ⊆ M
• N = (M \X)∪Y
• für jedes y ∈ Y existiert ein x ∈ X mit x ≻ y
Beispiel 4.4.14 Für M = {3,6,8} und N = {4,5,6,6,7,7} gilt M(> IN ) mul N, denn die
Teilmenge X = {3,8} wird durch die Menge Y = {4,5,6,7,7} ersetzt und dabei ist in der
Tat jedes Element von Y kleiner als das Element 8 aus X.
Neben der Erweiterung von Relationen auf Tupel von Elementen durch die lexikographische
Kombination haben wir nun auch die Möglichkeit, Relationen auf Multimengen
von Elementen zu erweitern. Ebenso wie bei der lexikographischen Kombination garantiert
auch das obige Konstruktionsprinzip zur Erweiterung von Relationen auf Multimengen,
dass dabei die Fundiertheit erhalten bleibt.
Satz 4.4.15 (Fundiertheit bleibt bei Multimengen erhalten [DM79]) Sei ≻ eine
Relation auf einer Menge T. Dann gilt: ≻ ist fundiert gdw. ≻ mul fundiert ist.
Beweis. Aus der Fundiertheit von ≻ mul folgt offensichtlich die Fundiertheit von ≻. Gäbe
es nämlich eine unendliche absteigende Folge t 0 ≻ t 1 ≻ ..., so hätte man nach Definition
von ≻ mul auch {t 0 }≻ mul {t 1 }≻ mul ...
Nun zeigen wir, dass aus der Fundiertheit von ≻ auch die Fundiertheit von ≻ mul folgt.
Wir nehmen hierzu an, dass es eine unendlich absteigende Folge M 0 ≻ mul M 1 ≻ mul ... gibt.
Aus dieser unendlichen Folge konstruieren wir nun einen unendlichen Baum, dessen Knoten
mit Elementen von T markiert sind. Der Baum wird so definiert, dass die Elemente entlang
eines Pfades bezüglich ≻ abnehmen, d.h., wenn ein Knoten s das (direkte) Kind t hat, dann