Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 4.4.10 Wir betrachten die folgende Variante der plus-TES, bei dem die Argumente
im rekursiven Aufruf vertauscht wurden.
plus(O,y) → y
plus(succ(x),y) → succ(plus(y,x))
Für die zweite Regel lässt sich keine lexikographische Pfadordnung angeben, so dass die
linke Seite größer als die rechte Seite wäre. Das Problem ist, dass weder das erste noch
das zweite Argument von plus hierbei kleiner wird. Es gilt succ(x) ⊁ y und y ⊁ x für jede
fundierte und stabile Relation ≻. Das Problem liegt daran, dass in diesen Ungleichungen
die rechte Seite Variablen enthält, die nicht auf der linken Seite auftreten.
Im obigen Beispiel besteht die Abhilfe darin, dass man die Argumente von plus nicht
als Tupel, sondern als Mengen vergleicht. Dann spielt es keine Rolle mehr, an welcher Argumentposition
ein Argument auftritt. Hierzu führen wir nun neben der lexikographischen
Pfadordnung eine zweite Simplifikationsordnung für automatische Terminierungsbeweise
mit TESen ein.
Im allgemeinen kann ein Funktionssymbol natürlich mehrere Argumente mit demselben
Wert besitzen. Bei der Datenstruktur der Mengen werden jedoch doppelte Vorkommen
eines Elements ignoriert. Es ist daher sinnvoll, statt Mengen sogenannte Multimengen zu
verwenden. Multimengen unterscheiden sich von Mengen dadurch, dass Elemente mehrfach
vorkommen können (wie bei linearen Listen). Im Unterschied zu Listen ist jedoch die Reihenfolge
der Elemente unerheblich. Bei Multimengen gilt also {1,1,4} = {1,4,1} ≠ {1,4}.
Definition 4.4.11 (Multimenge) Sei T eine nicht-leere Menge. Eine ungeordnete endliche
Folge M von Elementen aus T heißt Multimenge über T. Wir bezeichnen die Menge
aller (endlichen) Multimengen über T mit M(T).
Eine solche Multimenge M ist durch ihre charakteristische Funktion # M : T → IN
definiert, wobei # M (t) die Anzahl der Vorkommen des Elements t in der Multimenge M
angibt. Es gilt also t ∈ M gdw. # M (t) > 0. Auf Multimengen M,N werden nun die folgenden
Operationen definiert:
• M = N gdw. # M (t) = # N (t) für alle t ∈ T
• M ⊆ N gdw. # M (t) ≤ # N (t) für alle t ∈ T
• M ⊂ N gdw. M ⊆ N und M ≠ N
• M ∪N ist die Multimenge mit # M∪N (t) = # M (t)+# N (t) für alle t ∈ T
• M ∩N ist die Multimenge mit # M∩N (t) = min(# M (t),# N (t)) für alle t ∈ T
• M \N ist die Multimenge mit # M\N (t) = max(0,# M (t)−# N (t)) für alle t ∈ T