Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

terminiert das Programm (nach Satz 4.4.9 und Satz 4.3.4). Ansonsten kann man keine
Aussage über die Terminierung von R treffen.
Dieses Verfahren ist deutlich stärker als die Verwendung der Einbettungsordnung. Der
Grund ist, dass jede lexikographische Pfadordnung eine Simplifikationsordnung ist und
daher die Einbettungsordnung in jeder lexikographischen Pfadordnung enthalten ist.
In Def. 4.4.6 findet der lexikographische Vergleich der Argumente immer von links nach
rechts statt, d.h., wenn s = f(s 1 ,...,s i ,...,s n ), t = f(t 1 ,...,t i ,...,t n ) und s i ≻ lpo t i ist,
so verlangen wir s j = t j für 1 ≤ j < i und s ≻ lpo t j für i < j ≤ n. Selbstverständlich könnte
man stattdessen auch einen lexikographischen Vergleich von rechts nach links verwenden.
Die dritte Bedingung in der Definition der lexikographischen Pfadordnung müsste dann wie
folgt geändert werden:
• s = f(s 1 ,...,s i−1 ,s i ,s i+1 ,...,s n ), t = f(t 1 ,...,t i−1 ,t i ,s i+1 ,...,s n ), s i ≻ lpo t i und
s = f(s 1 ,...,s i−1 ,s i ,s i+1 ,...,s n ) ≻ lpo t j für alle j ∈ {1,...,i−1}.
Diese Variante der lexikographischen Pfadordnung ist z.B. nötig, wenn man die Terminierung
des folgenden TES nachweisen will.
pred(O) → O
pred(succ(x)) → x
minus(x,O) → x
minus(x,succ(y)) → minus(pred(x),y)
Die Ungleichungen, die aus den ersten drei Regeln entstehen, werden bereits von der Einbettungsordnung
erfüllt. Für die letzte Regel müssen wir jedoch
minus(x,succ(y)) ≻ lpo minus(pred(x),y)
nachweisen. Wenn man die Argumente lexikographisch von links nach rechts vergleicht, ist
dies nicht möglich, da x ⋡ lpo pred(x) gilt. Bei der Variante der lexikographischen Pfadordnung,
die von rechts nach links vergleicht, gelingt dieser Beweis jedoch bei der Präzedenz
minus ❂ pred, da wir dann succ(y) ≻ lpo y und minus(x,succ(y)) ≻ lpo pred(x) haben. Das
obige Programm terminiert daher.
Neben dem lexikographischen Vergleich von links nach rechts und von rechts nach links
sind natürlich auch alle anderen Permutationen der Argumente möglich. Um auch die Terminierung
von Programmen nachzuweisen, die sowohl einen Algorithmus wie sum (für den
man die Argumente von links nach rechts vergleichen muss) als auch einen Algorithmus
wie minus enthalten (für den man von rechts nach links vorgehen muss), kann man jedes
Funktionssymbol mit einem sogenannten Status versehen, der angibt, auf welche Weise die
Argumente dieses Funktionssymbols verglichen werden sollen. Der Status von sum wäre
dann die Permutation 〈1,2〉 (da die Argumente in dieser Reihenfolge verglichen werden)
und der Status von minus wäre 〈2,1〉.
Es gibt jedoch auch TESe, bei denen es keine Permutation der Argumente gibt, so dass
der lexikographische Vergleich erfolgreich ist.