Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Ansonsten gilt f = g = h und sowohl für s ≻ lpo t als auch für t ≻ lpo r wurde die
dritte Bedingung verwendet (aufgrund der Fundiertheit von ≻). Es gibt somit ein i
mit s 1 = t 1 ,...,s i−1 = t i−1 und s i ≻ lpo t i und ein j mit t 1 = r 1 ,...,t j−1 = r j−1 und
t j ≻ lpo r j . Sei d = min(i,j). Dann gilt s 1 = t 1 = r 1 ,...,s d−1 = t d−1 = r d−1 . Falls
d = i < j ist, so gilt s d ≻ lpo t d = r d und wenn d = j < i ist, so gilt s d = t d ≻ lpo r d .
Falls schließlich d = i = j ist, so ergibt sich s d ≻ lpo t d ≻ lpo r d und aufgrund der
Induktionshypothese s d ≻ lpo r d . Außerdem gilt s ≻ lpo t ≻ lpo r k und damit aufgrund
der Induktionshypothese s ≻ lpo r k für alle k ∈ {1,...,l}. Daher gilt aufgrund der
dritten Bedingung auch s ≻ lpo r.
Irreflexivität
Wir zeigen, dass für alle Terme s jeweils s ⊁ lpo s gilt. Hierzu verwenden wir strukturelle
Induktion über den Term s. Wir betrachten die einzelnen Fälle von Def. 4.4.6.
Wir nehmen zuerst an, dass s = f(s 1 ,...,s n ) und s i ≽ lpo s gilt. Aufgrund der Teiltermeigenschaft
und der Stabilität gilt aber auch s ≻ lpo s i , wodurch sich aufgrund der
Transitivität s i ≻ lpo s i im Widerspruch zur Induktionshypothese ergibt.
Der zweite Fall der Definition 4.4.6 kann nicht verwendet werden, um s ≻ lpo s zu
erhalten, da ansonsten für das oberste Funktionssymbol f von s die Beziehung f ❂ f
gelten würde, was der Fundiertheit von ❂ widerspricht.
Würde s ≻ lpo s mit dem dritten Fall der Definition gelten, so müsste es einen Teilterm
s i von s geben mit s i ≻ lpo s i . Dies widerspricht aber der Induktionshypothese. ✷
Es ist entscheidbar, ob (bei festgelegter Präzedenz ❂) s ≻ lpo t für zwei Terme s und t
gilt. Hierzu kann man (wie bei der Einbettungsordnung) ein rekursives Programm angeben,
das einfach die Bedingungen von Def. 4.4.6 abarbeitet.
FüreinTESRistesauchentscheidbar, obeseinePräzedenz❂aufdenFunktionssymbolen
gibt, so dass für die dazugehörige lexikographische Pfadordnung l ≻ lpo r für alle Regeln
l → r ∈ R gilt. (Allerdings ist dies ein NP-vollständiges Problem [KN85].) Der Grund ist,
dass wir nur endliche Signaturen Σ betrachten, so dass alle Möglichkeiten für die Definition
der Präzedenz probiert werden können. In der Praxis verwendet man natürlich effizientere
Algorithmen, die mit einer völlig unbestimmten Präzedenz ❂ beginnen und sukzessive die
Regeln untersuchen. Nur wenn es eine Regel l → r gibt, bei der l ≻ lpo r nur dann gilt, wenn
ein bestimmtes Funktionssymbol f größer als ein anderes Symbol g ist, erweitert man die
bislang festgelegte Präzedenz so, dass f ❂ g gilt. Die benötigte Präzedenz wird sozusagen
“on demand” ergänzt. Selbstverständlich muss man hierbei darauf achten, dass sich keine
Zyklen bei der Präzedenz ergeben, d.h., dass die Präzedenz fundiert bleibt. Dies lässt sich
aber leicht automatisch überprüfen, da es ja nur endlich viele Funktionssymbole gibt. Wie
die benötigte Präzedenz sukzessive bei der Bearbeitung der verschiedenen Ungleichungen
festgelegt wird, wurde bereits in Bsp. 4.4.7 deutlich. Entsprechende Algorithmen finden sich
beispielsweise in [DF85, CLM08].
Damit ergibt sich ein verbessertes Verfahren für automatische Terminierungsbeweise:
Für ein TES R sucht man nach einer Präzedenz ❂ auf der dazugehörigen Signatur, so
dass bei der zugehörigen lexikographischen Pfadordnung die linken Seiten der definierenden
Gleichungen jeweils größer als die entsprechenden rechten Seiten sind. Gelingt dies, so