Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Stabilität<br />
Wir beweisen die folgende Aussage:<br />
Falls s ≻ lpo t, dann sσ ≻ lpo tσ<br />
Hierzu verwenden wir noethersche Induktion über ✄ 2 lex . Wenn wir die Aussage für<br />
s <strong>und</strong> t zeigen wollen, können wir sie also für alle s ′ , t ′ voraussetzen, bei denen<br />
(s,t) ✄ 2 lex (s′ ,t ′ ) gilt (d.h., für (s ′ ,t ′ ) mit s ✄ s ′ <strong>und</strong> für (s,t ′ ) mit t ✄ t ′ ). Eine<br />
noetherscheInduktionüberdieseRelationistmöglich,da✄ 2 lex nachSatz4.4.5f<strong>und</strong>iert<br />
ist. Wir betrachten die einzelnen Fälle von Def. 4.4.6.<br />
Falls s = f(s 1 ,...,s n ) <strong>und</strong> s i ≽ lpo t, so folgt aus der Induktionshypothese s i σ ≽ lpo tσ<br />
<strong>und</strong> damit sσ = f(s 1 σ,...,s n σ) ≻ lpo tσ.<br />
Fallss = f(s 1 ,...,s n ),t = g(t 1 ,...,t m ),f ❂ g <strong>und</strong>s ≻ lpo t j fürallej ∈ {1,...,m},so<br />
folgt aufgr<strong>und</strong> der Induktionshypothese sσ ≻ lpo t j σ <strong>und</strong> daher sσ = f(s 1 σ,...,s n σ)<br />
≻ lpo g(t 1 σ,...,t m σ) = tσ.<br />
Falls schließlich s = f(s 1 ,...,s i ,...,s n ), t = f(s 1 ,...,t i ,...,t n ), s i ≻ lpo t i <strong>und</strong> s ≻ lpo<br />
t j für allej ∈ {i+1,...,n} ist, so folgt aufgr<strong>und</strong>der Induktionshypothese s i σ ≻ lpo t i σ<br />
<strong>und</strong> jeweils sσ ≻ lpo t j σ. Damit erhält man wiederum sσ ≻ lpo tσ.<br />
Transitivität<br />
Wir beweisen die folgende Aussage:<br />
Falls s ≻ lpo t <strong>und</strong> t ≻ lpo r, dann s ≻ lpo r<br />
Hierzu verwenden wir noethersche Induktion über ✄ 3 lex . Wenn wir die Aussage für s,<br />
t <strong>und</strong> r zeigen wollen, dürfen wir sie also für alle s ′ , t ′ , r ′ mit (s,t,r) ✄ 3 lex (s′ ,t ′ ,r ′ )<br />
voraussetzen. Die F<strong>und</strong>iertheit der Induktionsrelation folgt wieder aus Satz 4.4.5. Wir<br />
betrachten die einzelnen Fälle von Def. 4.4.6.<br />
Zunächst untersuchen wir den Fall, dass eine der beiden Ungleichungen s ≻ lpo t oder<br />
t ≻ lpo r aufgr<strong>und</strong> der ersten Bedingung in Def. 4.4.6 gilt.<br />
• Sei s = f(s 1 ,...,s n ) <strong>und</strong> s i ≽ lpo t für ein i ∈ {1,...,n}. Aus s i ≽ lpo t ≻ lpo r folgt<br />
aufgr<strong>und</strong> der Induktionshypothese s i ≻ lpo r. Damit erhält man auch s ≻ lpo r.<br />
• Sei nun t = g(t 1 ,...,t m ) <strong>und</strong> t j ≽ lpo r für ein j ∈ {1,...,m}.<br />
Außerdem sei s ≻ lpo t nicht mit Hilfe der ersten Bedingung aus Def. 4.4.6 entstanden.<br />
Daraus ergibt sich s ≻ lpo t j .<br />
Insgesamt erhält man also s ≻ lpo t j ≽ lpo r, was aufgr<strong>und</strong> der Induktionshypothese<br />
s ≻ lpo r ergibt.<br />
Somit verbleiben nun die Fälle, bei denen s = f(s 1 ,...,s n ), t = g(t 1 ,...,t m ) <strong>und</strong><br />
r = h(r 1 ,...,r l ) ist, wobei f ⊒ g ⊒ h gilt. Aufgr<strong>und</strong> der Transitivität von ❂ (denn<br />
❂ ist eine Ordnung), ist somit f ⊒ h. Außerdem gilt t ≻ lpo r k für alle k ∈ {1,...,l}.<br />
Fallsf ❂ h ist (d.h., für s ≻ lpo toder t ≻ lpo r wurde die zweite Bedingung verwendet),<br />
so folgt aus s ≻ lpo t ≻ lpo r k aufgr<strong>und</strong> der Induktionshypothese s ≻ lpo r k für alle<br />
k ∈ {1,...,l}. Mit der zweiten Bedingung von Def. 4.4.6 ergibt sich s ≻ lpo r.