Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Stabilität
Wir beweisen die folgende Aussage:
Falls s ≻ lpo t, dann sσ ≻ lpo tσ
Hierzu verwenden wir noethersche Induktion über ✄ 2 lex . Wenn wir die Aussage für
s und t zeigen wollen, können wir sie also für alle s ′ , t ′ voraussetzen, bei denen
(s,t) ✄ 2 lex (s′ ,t ′ ) gilt (d.h., für (s ′ ,t ′ ) mit s ✄ s ′ und für (s,t ′ ) mit t ✄ t ′ ). Eine
noetherscheInduktionüberdieseRelationistmöglich,da✄ 2 lex nachSatz4.4.5fundiert
ist. Wir betrachten die einzelnen Fälle von Def. 4.4.6.
Falls s = f(s 1 ,...,s n ) und s i ≽ lpo t, so folgt aus der Induktionshypothese s i σ ≽ lpo tσ
und damit sσ = f(s 1 σ,...,s n σ) ≻ lpo tσ.
Fallss = f(s 1 ,...,s n ),t = g(t 1 ,...,t m ),f ❂ g unds ≻ lpo t j fürallej ∈ {1,...,m},so
folgt aufgrund der Induktionshypothese sσ ≻ lpo t j σ und daher sσ = f(s 1 σ,...,s n σ)
≻ lpo g(t 1 σ,...,t m σ) = tσ.
Falls schließlich s = f(s 1 ,...,s i ,...,s n ), t = f(s 1 ,...,t i ,...,t n ), s i ≻ lpo t i und s ≻ lpo
t j für allej ∈ {i+1,...,n} ist, so folgt aufgrundder Induktionshypothese s i σ ≻ lpo t i σ
und jeweils sσ ≻ lpo t j σ. Damit erhält man wiederum sσ ≻ lpo tσ.
Transitivität
Wir beweisen die folgende Aussage:
Falls s ≻ lpo t und t ≻ lpo r, dann s ≻ lpo r
Hierzu verwenden wir noethersche Induktion über ✄ 3 lex . Wenn wir die Aussage für s,
t und r zeigen wollen, dürfen wir sie also für alle s ′ , t ′ , r ′ mit (s,t,r) ✄ 3 lex (s′ ,t ′ ,r ′ )
voraussetzen. Die Fundiertheit der Induktionsrelation folgt wieder aus Satz 4.4.5. Wir
betrachten die einzelnen Fälle von Def. 4.4.6.
Zunächst untersuchen wir den Fall, dass eine der beiden Ungleichungen s ≻ lpo t oder
t ≻ lpo r aufgrund der ersten Bedingung in Def. 4.4.6 gilt.
• Sei s = f(s 1 ,...,s n ) und s i ≽ lpo t für ein i ∈ {1,...,n}. Aus s i ≽ lpo t ≻ lpo r folgt
aufgrund der Induktionshypothese s i ≻ lpo r. Damit erhält man auch s ≻ lpo r.
• Sei nun t = g(t 1 ,...,t m ) und t j ≽ lpo r für ein j ∈ {1,...,m}.
Außerdem sei s ≻ lpo t nicht mit Hilfe der ersten Bedingung aus Def. 4.4.6 entstanden.
Daraus ergibt sich s ≻ lpo t j .
Insgesamt erhält man also s ≻ lpo t j ≽ lpo r, was aufgrund der Induktionshypothese
s ≻ lpo r ergibt.
Somit verbleiben nun die Fälle, bei denen s = f(s 1 ,...,s n ), t = g(t 1 ,...,t m ) und
r = h(r 1 ,...,r l ) ist, wobei f ⊒ g ⊒ h gilt. Aufgrund der Transitivität von ❂ (denn
❂ ist eine Ordnung), ist somit f ⊒ h. Außerdem gilt t ≻ lpo r k für alle k ∈ {1,...,l}.
Fallsf ❂ h ist (d.h., für s ≻ lpo toder t ≻ lpo r wurde die zweite Bedingung verwendet),
so folgt aus s ≻ lpo t ≻ lpo r k aufgrund der Induktionshypothese s ≻ lpo r k für alle
k ∈ {1,...,l}. Mit der zweiten Bedingung von Def. 4.4.6 ergibt sich s ≻ lpo r.