Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Beispiel 4.4.8 Um die Arbeitsweise des lexikographischen Vergleichs zu verdeutlichen,<br />
betrachten wir als weiteres Beispiel ein TES mit einem modifizierten Additionsalgorithmus.<br />
sum(O,y) → y<br />
sum(succ(x),y) → sum(x,succ(y))<br />
Für seine Terminierung sind die folgenden Ungleichungen nachzuweisen:<br />
sum(O,y) ≻ lpo y<br />
sum(succ(x),y) ≻ lpo sum(x,succ(y))<br />
Man erkennt, dass diese Ungleichungen bei der Präzedenz sum ❂ succ erfüllt sind <strong>und</strong> dass<br />
sum deshalb terminiert. Die erste Ungleichung gilt bereits bei der Einbettungsordnung <strong>und</strong><br />
bei der zweiten Ungleichung wird das erste Argument kleiner (succ(x) ≻ lpo x) <strong>und</strong> das<br />
zweite Argument succ(y) auf der rechten Seite ist zumindest kleiner als die gesamte linke<br />
Seite (d.h., sum(succ(x),y) ≻ lpo succ(y)). Hier müssen die Argumente von sum wirklich<br />
mit einer lexikographischen Ordnung verglichen werden, denn während das erste Argument<br />
kleiner wird (aus succ(x) wird x) wird das zweite Argument größer (aus y wird succ(y)).<br />
Nun zeigen wir den Satz, der sicher stellt, dass man die lexikographische Pfadordnung<br />
tatsächlich für Terminierungsbeweise verwenden kann. Hierbei ist wieder wichtig, dass wir<br />
nur endliche Signaturen betrachten. Zum Beweis verwenden wir den Satz von Kruskal,<br />
d.h., wir zeigen nur, dass ≻ lpo stabil, monoton, transitiv <strong>und</strong> irreflexiv ist <strong>und</strong> außerdem<br />
die Teiltermeigenschaft erfüllt. Aufgr<strong>und</strong> des Satzes von Kruskal (Satz 4.4.2) folgt daraus<br />
auch die F<strong>und</strong>iertheit.<br />
Satz 4.4.9 (Eigenschaften der lexikographischen Pfadordnung) Die lexikographische<br />
Pfadordnung ≻ lpo ist eine Simplifikations- <strong>und</strong> somit eine Reduktionsordnung.<br />
Beweis. Wir zeigen die Teiltermeigenschaft, Monotonie, Stabilität, Transitivität <strong>und</strong> Irreflexivität<br />
von ≻ lpo . Daraus folgt dann gemäß Satz 4.4.2, dass ≻ lpo eine Simplifikations- <strong>und</strong><br />
Reduktionsordnung ist.<br />
Teiltermeigenschaft<br />
Es gilt x i ≽ lpo x i <strong>und</strong> somit f(x 1 ,...,x n ) ≻ lpo x i für alle f ∈ Σ <strong>und</strong> alle i ∈ {1,...,n}<br />
aufgr<strong>und</strong> der ersten Bedingung in Def. 4.4.6.<br />
Monotonie<br />
Wir zeigen folgende Aussage:<br />
Falls s ≻ lpo t, dann q[s] π ≻ lpo q[t] π .<br />
Hierzu verwenden wir strukturelle Induktion über π. Im Fall π = ǫ ist die Aussage trivial.<br />
Im Fall π = iπ ′ gilt q[s] π = f(q 1 ,...,q i [s] π ′,...,q n ) <strong>und</strong> q[t] π = f(q 1 ,...,q i [t] π ′,<br />
...,q n ). Aufgr<strong>und</strong> der Induktionshypothese folgt q i [s] π ′ ≻ lpo q i [t] π ′. Die erste Bedingung<br />
in Def. 4.4.6 impliziert f(q 1 ,...,q i [s] π ′,...,q n ) ≻ lpo q j für alle j ∈ {i+1,...,n}.<br />
AusderdrittenBedingunginDef.4.4.6ergibtsichalsoq[s] π = f(q 1 ,...,q i [s] π ′,...,q n )<br />
≻ lpo f(q 1 ,...,q i [t] π ′,...,q n ) = q[t] π .