Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 4.4.8 Um die Arbeitsweise des lexikographischen Vergleichs zu verdeutlichen,
betrachten wir als weiteres Beispiel ein TES mit einem modifizierten Additionsalgorithmus.
sum(O,y) → y
sum(succ(x),y) → sum(x,succ(y))
Für seine Terminierung sind die folgenden Ungleichungen nachzuweisen:
sum(O,y) ≻ lpo y
sum(succ(x),y) ≻ lpo sum(x,succ(y))
Man erkennt, dass diese Ungleichungen bei der Präzedenz sum ❂ succ erfüllt sind und dass
sum deshalb terminiert. Die erste Ungleichung gilt bereits bei der Einbettungsordnung und
bei der zweiten Ungleichung wird das erste Argument kleiner (succ(x) ≻ lpo x) und das
zweite Argument succ(y) auf der rechten Seite ist zumindest kleiner als die gesamte linke
Seite (d.h., sum(succ(x),y) ≻ lpo succ(y)). Hier müssen die Argumente von sum wirklich
mit einer lexikographischen Ordnung verglichen werden, denn während das erste Argument
kleiner wird (aus succ(x) wird x) wird das zweite Argument größer (aus y wird succ(y)).
Nun zeigen wir den Satz, der sicher stellt, dass man die lexikographische Pfadordnung
tatsächlich für Terminierungsbeweise verwenden kann. Hierbei ist wieder wichtig, dass wir
nur endliche Signaturen betrachten. Zum Beweis verwenden wir den Satz von Kruskal,
d.h., wir zeigen nur, dass ≻ lpo stabil, monoton, transitiv und irreflexiv ist und außerdem
die Teiltermeigenschaft erfüllt. Aufgrund des Satzes von Kruskal (Satz 4.4.2) folgt daraus
auch die Fundiertheit.
Satz 4.4.9 (Eigenschaften der lexikographischen Pfadordnung) Die lexikographische
Pfadordnung ≻ lpo ist eine Simplifikations- und somit eine Reduktionsordnung.
Beweis. Wir zeigen die Teiltermeigenschaft, Monotonie, Stabilität, Transitivität und Irreflexivität
von ≻ lpo . Daraus folgt dann gemäß Satz 4.4.2, dass ≻ lpo eine Simplifikations- und
Reduktionsordnung ist.
Teiltermeigenschaft
Es gilt x i ≽ lpo x i und somit f(x 1 ,...,x n ) ≻ lpo x i für alle f ∈ Σ und alle i ∈ {1,...,n}
aufgrund der ersten Bedingung in Def. 4.4.6.
Monotonie
Wir zeigen folgende Aussage:
Falls s ≻ lpo t, dann q[s] π ≻ lpo q[t] π .
Hierzu verwenden wir strukturelle Induktion über π. Im Fall π = ǫ ist die Aussage trivial.
Im Fall π = iπ ′ gilt q[s] π = f(q 1 ,...,q i [s] π ′,...,q n ) und q[t] π = f(q 1 ,...,q i [t] π ′,
...,q n ). Aufgrund der Induktionshypothese folgt q i [s] π ′ ≻ lpo q i [t] π ′. Die erste Bedingung
in Def. 4.4.6 impliziert f(q 1 ,...,q i [s] π ′,...,q n ) ≻ lpo q j für alle j ∈ {i+1,...,n}.
AusderdrittenBedingunginDef.4.4.6ergibtsichalsoq[s] π = f(q 1 ,...,q i [s] π ′,...,q n )
≻ lpo f(q 1 ,...,q i [t] π ′,...,q n ) = q[t] π .