Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Hierbei bezeichnet ≽ lpo die reflexive Hülle von ≻ lpo , d.h., die Relation mit s ≽ lpo t gdw.
s ≻ lpo t oder s = t.
Der dritte Fall der obigen Definition lässt sich auch wie folgt schreiben:
• s = f(s 1 ,...,s n ), t = f(t 1 ,...,t n ), (s 1 ,...,s n ) (≻ lpo ) n lex (t 1,...,t n ) und s ≻ lpo t j für
alle j ∈ {1,...,n}.
Man erkennt also, dass man in der Tat die Argumente von gleichen Funktionssymbolen auf
lexikographische Weise miteinander vergleicht.
Die lexikographische Pfadordnung lässt sich ebenfalls für Terminierungsbeweise verwenden,
denn da die verwendete Präzedenz ❂ fundiert ist, handelt es sich wieder um eine
Reduktionsordnung. Die Fundiertheit der Präzedenz ist hierbei natürlich notwendig, um
die Fundiertheit der lexikographischen Pfadordnung zu garantieren. (Da wir nur endliche
Signaturen betrachten und da ❂ transitiv ist, ist die Fundiertheit von ❂ gleichbedeutend zu
der Irreflexivität von ❂, die sich natürlich leicht überprüfen lässt.) Bevor wir zeigen, dass
es sich in der Tat um eine Simplifikations- und damit um eine Reduktionsordnung handelt,
wollen wir die lexikographische Pfadordnung zuerst mit zwei Beispielen illustrieren.
Beispiel 4.4.7 Mit der lexikographischen Pfadordnung kann man die Terminierung vieler
Termersetzungssysteme und Programme zeigen. Betrachten wir das TES mit den Regeln
für plus und times.
plus(O,y) → y
plus(succ(x),y) → succ(plus(x,y))
times(O,y) → O
times(succ(x),y) → plus(y,times(x,y))
Um seine Terminierung zu beweisen, muss eine Präzedenz ❂ gefunden werden, so dass
die folgenden Ungleichungen für die zugehörige lexikographische Pfadordnung erfüllt sind.
plus(O,y) ≻ lpo y (4.8)
plus(succ(x),y) ≻ lpo succ(plus(x,y)) (4.9)
times(O,y) ≻ lpo O (4.10)
times(succ(x),y) ≻ lpo plus(y,times(x,y)) (4.11)
Die erste und die dritte Ungleichung (4.8) und (4.10) gelten bereits bei der Einbettungsordnung
und somit bei jeder lexikographischen Pfadordnung (denn wir werden in Satz 4.4.9
zeigen, dass jede lexikographische Pfadordnung auch eine Simplifikationsordnung ist). Die
zweite Ungleichung (4.9) kann nur gelten, falls plus ❂ succ ist. Dann reicht es, zu zeigen,
dass plus(succ(x),y) ≻ lpo plus(x,y) gilt. Dies folgt jedoch sofort aus succ(x) ≻ lpo x und
plus(succ(x),y) ≻ lpo y. Die letzte Ungleichung (4.11) erzwingt die Präzedenz times ❂ plus.
Dann ist nur noch times(succ(x),y) ≻ lpo y und times(succ(x),y) ≻ lpo times(x,y) zu zeigen,
was offensichtlich erfüllt ist. Wenn man eine Präzedenz mit times ❂ plus ❂ succ wählt, sind
also die vier Ungleichungen (4.8) - (4.11) erfüllt und damit terminiert das Termersetzungssystem.