Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Die n-fache lexikographische Kombination einer Relation ≻ mit sich selbst wird als ≻ n lex<br />
bezeichnet (d.h., dies entspricht dem obigen Fall, wenn ≻ 1 = ... =≻ n ist).<br />
Solch eine Form des Vergleichs heißt deswegen lexikographisch, weil sie (in etwa) der Relation<br />
entspricht, nach der Einträge in einem Lexikon geordnet sind. (Ein Begriff “c 1 ...c n ”<br />
steht vor einem anderen Begriff “d 1 ...d m ” im Lexikon, wenn der i-te Buchstabe c i des<br />
ersten Worts vor dem i-ten Buchstaben d i des zweiten Worts im Alphabet kommt <strong>und</strong> die<br />
Buchstaben der beiden Wörter vor dem i-ten Buchstaben gleich sind (d.h., c j = d j für<br />
alle 1 ≤ j < i). Die Buchstaben hinter dem i-ten Buchstaben können aber in den beiden<br />
Wörtern beliebig sein.<br />
Beispiel 4.4.4 Sei > IN wieder die übliche “größer”-Relation auf natürlichen Zahlen <strong>und</strong><br />
sei > alph die alphabetische Relation auf Buchstaben. Dann gilt (3,c) ≻ (2,b), (3,c) ≻ (3,d),<br />
aber (3,c) ⊁ (4,d) für die lexikographische Kombination ≻ der beiden Relationen > IN <strong>und</strong><br />
> alph . Außerdem gilt hans (≻ alph ) 4 lex hugo (≻ alph) 4 lex kurt.<br />
Das folgende gr<strong>und</strong>legende Resultat zeigt, dass bei der lexikographischen Kombination<br />
von f<strong>und</strong>ierten Relationen die F<strong>und</strong>iertheit erhalten bleibt. Hierbei ist es wichtig, dass die<br />
Größe der Tupel, die mit lexikographischen Relationen verglichen werden, festgelegt ist. Da<br />
> alph eine f<strong>und</strong>ierte Relation ist, ist auch die Relation (≻ alph ) n lex zum Vergleich von Wörtern<br />
mit n Buchstaben f<strong>und</strong>iert. Die Relation, die in Lexika verwendet wird, ist hingegen nicht<br />
f<strong>und</strong>iert, da hier die Wörter beliebig lang werden können. Hier gilt z.B.<br />
a > ba > bba > bbba > ...<br />
Satz 4.4.5 (F<strong>und</strong>iertheit bleibt bei lexikographischen Kombinationen erhalten)<br />
Sei ≻ 1 eine Relation auf der nicht-leeren Menge T 1 <strong>und</strong> ≻ 2 eine Relation auf der nichtleeren<br />
Menge T 2 . Dann sind ≻ 1 <strong>und</strong> ≻ 2 f<strong>und</strong>iert gdw. ihre lexikographische Kombination<br />
≻ 1×2 f<strong>und</strong>iert ist.<br />
Beweis. Wir zeigen zuerst die “⇐”-Richtung. Sei ≻ 1×2 f<strong>und</strong>iert. Falls ≻ 1 nicht f<strong>und</strong>iert<br />
wäre, so gäbe es eine unendliche Folge u 0 ≻ 1 u 1 ≻ 1 ... Sei v ∈ T 2 beliebig. Dann folgt<br />
(u 0 ,v) ≻ 1×2 (u 1 ,v) ≻ 1×2 ... im Widerspruch zur F<strong>und</strong>iertheit von ≻ 1×2 .<br />
Wäre ≻ 2 nicht f<strong>und</strong>iert, so gäbe es eine unendliche Folge v 0 ≻ 2 v 1 ≻ 2 ... Mit u ∈ T 1<br />
beliebig erhält man dann (u,v 0 ) ≻ 1×2 (u,v 1 ) ≻ 1×2 ... im Widerspruch zur F<strong>und</strong>iertheit<br />
von ≻ 1×2 .<br />
Nun zeigen wir die “⇒”-Richtung, d.h., dass aus der F<strong>und</strong>iertheit von ≻ 1 <strong>und</strong> ≻ 2 auch<br />
die F<strong>und</strong>iertheit von ≻ 1×2 folgt. Falls es eine unendliche Folge(u 0 ,v 0 ) ≻ 1×2 (u 1 ,v 1 ) ≻ 1×2 ...<br />
gäbe, so würde u 0 ≽ 1 u 1 ≽ 1 ... gelten, wobei ≽ 1 die reflexive Hülle von ≻ 1 bezeichnet. Da<br />
≻ 1 f<strong>und</strong>iert ist, kann diese Folge nur endlich viele ≻ 1 -Schritte besitzen. Es existiert also<br />
ein i ∈ IN mit u j = u j+1 für alle j ≥ i. Damit folgt v i ≻ 2 v i+1 ≻ 2 ... im Widerspruch zur<br />
F<strong>und</strong>iertheit von ≻ 2 .<br />
✷<br />
Der obige Satz garantiert, dass wir eine f<strong>und</strong>ierte Ordnung ≻ auf Termen zu einer f<strong>und</strong>ierten<br />
Ordnung ≻ n lex auf n-Tupeln von Termen erweitern können. Dies werden wir nun<br />
benutzen, um eine Ordnung für Terminierungsbeweise zu entwickeln, die der Einbettungsordnung<br />
deutlich überlegen ist.