Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Die n-fache lexikographische Kombination einer Relation ≻ mit sich selbst wird als ≻ n lex
bezeichnet (d.h., dies entspricht dem obigen Fall, wenn ≻ 1 = ... =≻ n ist).
Solch eine Form des Vergleichs heißt deswegen lexikographisch, weil sie (in etwa) der Relation
entspricht, nach der Einträge in einem Lexikon geordnet sind. (Ein Begriff “c 1 ...c n ”
steht vor einem anderen Begriff “d 1 ...d m ” im Lexikon, wenn der i-te Buchstabe c i des
ersten Worts vor dem i-ten Buchstaben d i des zweiten Worts im Alphabet kommt und die
Buchstaben der beiden Wörter vor dem i-ten Buchstaben gleich sind (d.h., c j = d j für
alle 1 ≤ j < i). Die Buchstaben hinter dem i-ten Buchstaben können aber in den beiden
Wörtern beliebig sein.
Beispiel 4.4.4 Sei > IN wieder die übliche “größer”-Relation auf natürlichen Zahlen und
sei > alph die alphabetische Relation auf Buchstaben. Dann gilt (3,c) ≻ (2,b), (3,c) ≻ (3,d),
aber (3,c) ⊁ (4,d) für die lexikographische Kombination ≻ der beiden Relationen > IN und
> alph . Außerdem gilt hans (≻ alph ) 4 lex hugo (≻ alph) 4 lex kurt.
Das folgende grundlegende Resultat zeigt, dass bei der lexikographischen Kombination
von fundierten Relationen die Fundiertheit erhalten bleibt. Hierbei ist es wichtig, dass die
Größe der Tupel, die mit lexikographischen Relationen verglichen werden, festgelegt ist. Da
> alph eine fundierte Relation ist, ist auch die Relation (≻ alph ) n lex zum Vergleich von Wörtern
mit n Buchstaben fundiert. Die Relation, die in Lexika verwendet wird, ist hingegen nicht
fundiert, da hier die Wörter beliebig lang werden können. Hier gilt z.B.
a > ba > bba > bbba > ...
Satz 4.4.5 (Fundiertheit bleibt bei lexikographischen Kombinationen erhalten)
Sei ≻ 1 eine Relation auf der nicht-leeren Menge T 1 und ≻ 2 eine Relation auf der nichtleeren
Menge T 2 . Dann sind ≻ 1 und ≻ 2 fundiert gdw. ihre lexikographische Kombination
≻ 1×2 fundiert ist.
Beweis. Wir zeigen zuerst die “⇐”-Richtung. Sei ≻ 1×2 fundiert. Falls ≻ 1 nicht fundiert
wäre, so gäbe es eine unendliche Folge u 0 ≻ 1 u 1 ≻ 1 ... Sei v ∈ T 2 beliebig. Dann folgt
(u 0 ,v) ≻ 1×2 (u 1 ,v) ≻ 1×2 ... im Widerspruch zur Fundiertheit von ≻ 1×2 .
Wäre ≻ 2 nicht fundiert, so gäbe es eine unendliche Folge v 0 ≻ 2 v 1 ≻ 2 ... Mit u ∈ T 1
beliebig erhält man dann (u,v 0 ) ≻ 1×2 (u,v 1 ) ≻ 1×2 ... im Widerspruch zur Fundiertheit
von ≻ 1×2 .
Nun zeigen wir die “⇒”-Richtung, d.h., dass aus der Fundiertheit von ≻ 1 und ≻ 2 auch
die Fundiertheit von ≻ 1×2 folgt. Falls es eine unendliche Folge(u 0 ,v 0 ) ≻ 1×2 (u 1 ,v 1 ) ≻ 1×2 ...
gäbe, so würde u 0 ≽ 1 u 1 ≽ 1 ... gelten, wobei ≽ 1 die reflexive Hülle von ≻ 1 bezeichnet. Da
≻ 1 fundiert ist, kann diese Folge nur endlich viele ≻ 1 -Schritte besitzen. Es existiert also
ein i ∈ IN mit u j = u j+1 für alle j ≥ i. Damit folgt v i ≻ 2 v i+1 ≻ 2 ... im Widerspruch zur
Fundiertheit von ≻ 2 .
✷
Der obige Satz garantiert, dass wir eine fundierte Ordnung ≻ auf Termen zu einer fundierten
Ordnung ≻ n lex auf n-Tupeln von Termen erweitern können. Dies werden wir nun
benutzen, um eine Ordnung für Terminierungsbeweise zu entwickeln, die der Einbettungsordnung
deutlich überlegen ist.