Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

(c) Wir nehmen an, die Relation ≻ sei nicht fundiert. Dann existiert eine unendliche
absteigende Folge von Termen
t 0 ≻ t 1 ≻ t 2 ≻ ...
Sei σ eine Substitution, die alle Variablen der t i durch Grundterme ersetzt (wir verlangen
stets Σ 0 ≠ ∅, d.h., dass Grundterme existieren). Wegen der Stabilität von ≻
gilt dann
t 0 σ ≻ t 1 σ ≻ t 2 σ ≻ ...,
wobei alle t i σ Grundterme sind. Aufgrund des Satzes von Kruskal (Teil (a)) gibt es
alsoi < j mitt i σ ≼ emb t j σ.Da≼ emb ⊆ ≼ist(Teil(b)),hatmanaucht i σ ≼ t j σ.Damit
folgt aufgrund der Transitivität t i σ ≻ t j σ ≽ t i σ, d.h., t i σ ≻ t i σ im Widerspruch zur
Irreflexivität von ≻.
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Im Folgenden werden wir Reduktionsordnungen ≻ definieren, die mächtiger als die Einbettungsordnung
sind, undbei denen mandennoch weiterhin automatisch überprüfenkann,
ob s ≻ t für zwei Terme gilt. Um zu beweisen, dass es sich bei einer solchen Relation
tatsächlich um eine Reduktionsordnung handelt, genügt es dann jeweils, zu zeigen, dass
≻ stabil, monoton, transitiv und irreflexiv ist und darüber hinaus die Teiltermeigenschaft
f(x 1 ,...,x n ) ≻ x i erfüllt. Nach dem Satz von Kruskal (bzw. nach Satz 4.4.2 (c)) folgt
daraus dann, dass ≻ eine Simplifikationsordnung und somit auch eine Reduktionsordnung
ist.
Zur Definition einer Ordnung, die die Einbettungsordnung erweitert, müssen wir insbesondere
angeben, wie man zwei Terme f(s 1 ,...,s n ) und f(t 1 ,...,t n ) mit dem gleichen
Funktionssymbol vergleichen soll. In der Einbettungsordnung wurde hier s i ≻ t i für ein i
und s j ≽ t j für alle j ≠ i gefordert. Diese Forderung lässt sich aber abschwächen, indem
man stattdessen die Argumente der beiden f-Terme entweder lexikographisch oder als Multimenge
vergleicht. Die erste Form des Vergleichs führt zur sogenannten lexikographischen
Pfadordnung und die zweite Form führt zur rekursiven Pfadordnung.
Hierzu werden wir nun zwei Konstruktionstechniken einführen, mit denen man aus einfachen
Ordnungen komplexere Ordnungen konstruieren kann. Die lexikographische Kombination
dient dazu, zwei Relationen auf den Mengen T 1 und T 2 zu einer Relation auf Paaren
aus T 1 ×T 2 zu kombinieren.
Definition 4.4.3 (Lexikographische Kombination von Relationen) Sei ≻ 1 eine
Relation auf der Menge T 1 und ≻ 2 eine Relation auf der Menge T 2 (d.h., ≻ i ⊆ T i ×T i ).
Dann wird die lexikographische Kombination ≻ 1×2 auf T 1 ×T 2 wie folgt definiert:
(s 1 ,s 2 ) ≻ 1×2 (t 1 ,t 2 ) gdw. s 1 ≻ 1 t 1 oder
(s 1 = t 1 und s 2 ≻ 2 t 2 ).
Analog dazu kann man die lexikographische Kombination von mehreren Relationen ≻ 1 ,
≻ 2 ,...,≻ n als die Kombination von ≻ 1 mit der lexikographischen Kombination von ≻ 2 ,
...,≻ n definieren, d.h.
(s 1 ,...,s n ) ≻ 1×...×n (t 1 ,...,t n ) gdw. es existiert i ∈ {1,...,n} mit s i ≻ i t i
und s j = t j für 1 ≤ j < i.