Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

abgearbeitet werden können. Die Terminierung dieses rekursiven Programms folgt daraus,
dass die rekursiven Argumente (s i und t bei der ersten Bedingung und s i und t i bzw. s j und
t j bei der zweiten Bedingung) immer kleinere Terme werden. Die Einbettungsordnung lässt
sich daher als zugrunde liegende Reduktionsrelation in einem Terminierungsverfahren wie
oben skizziert verwenden. Dieses Beweisverfahren ist bereits in der Lage, die Terminierung
einfacher Programme nachzuweisen.
Beispiel 4.3.5 Betrachten wir ein TES zur Subtraktion zweier natürlicher Zahlen.
minus(x,O) → x
minus(O,succ(y)) → O
minus(succ(x),succ(y)) → minus(x,y)
Wenn wir die Einbettungsordnung ≻ emb als zugrunde liegende Reduktionsrelation verwenden,
so müssen wir nun nachweisen, dass bei jeder Regel die linke Seite größer als die rechte
ist, d.h.
minus(x,O) ≻ emb x
minus(O,succ(y)) ≻ emb O
minus(succ(x),succ(y)) ≻ emb minus(x,y)
Dies lässt sich sofort (automatisch) zeigen, so dass die Terminierung des TES bewiesen ist.
Allerdings ist unser Terminierungsverfahren noch recht schwach. Die Terminierung des
plus-TES lässt sich beispielsweise mit der Einbettungsordnung nicht zeigen. Wie üblich ist
plus durch die folgenden Regeln definiert.
plus(O,y) → y
plus(succ(x),y) → succ(plus(x,y))
Man müsste also die folgenden Ungleichungen beweisen:
plus(O,y) ≻ emb y
plus(succ(x),y) ≻ emb succ(plus(x,y))
Es gilt aber plus(succ(x),y) ⊁ emb succ(plus(x,y)), denn succ(plus(x,y)) ist weder in succ(x)
noch in y eingebettet und die beiden Terme haben auch nicht das gleiche äußere Funktionssymbol.
Das Beispiel plus zeigt, dass die Verwendung der Einbettungsordnung eine zu große
Einschränkung ist, um ein praktisch einsetzbares Terminierungsverfahren zu erhalten. Im
nächsten Abschnitt werden wir daher weitere Reduktionsrelationen einführen, die ebenfalls
entscheidbar sind und mit denen das Terminierungsverfahren wesentlich leistungsfähiger
wird.