Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Reduktionsordnungen. (Wie üblich ist eine Ordnung eine transitive und antisymmetrische 2
Relation. Aus der Fundiertheit folgt natürlich sofort die Asymmetrie 3 und damit auch die
Antisymmetrie.)
Definition 4.3.3 (Reduktionsrelation und -ordnung) Eine Relation ≻ über Termen,
die fundiert, stabil und monoton ist, heißt Reduktionsrelation. Eine transitive Reduktionsrelation
heißt Reduktionsordnung.
Mit Hilfe von Reduktionsrelationen lässt sich nun tatsächlich die Terminierung von
TESen (und damit auch von Programmen) nachweisen. Man muss lediglich untersuchen, ob
für alle definierenden Gleichungen die linke Seite jeweils größer als die rechte ist, vgl. (4.7).
Es handelt sich hierbei nicht nur um ein hinreichendes, sondern sogar um ein notwendiges
Kriterium für die Terminierung.
Satz 4.3.4 (Terminierungskriterium mit Reduktionsrelationen [MN70])
Ein TES R terminiert genau dann, wenn es eine Reduktionsrelation ≻ gibt, so dass l ≻ r
für alle Regeln l → r ∈ R gilt.
Beweis.
“⇐”: Sei ≻ eine Reduktionsrelation, so dass l ≻ r für alle Regeln l → r ∈ R gilt. Dann
folgt für alle Terme mit s → R t auch s ≻ t. Der Grund ist, dass s → R t bedeutet, dass
es eine Stelle π in s, eine Substitution σ und eine Regel l → r gibt mit s| π = lσ und
t = s[rσ] π . Aufgrund der Stabilität von ≻ gilt lσ ≻ rσ und aufgrund der Monotonie
gilt auch s = s[lσ] π ≻ s[rσ] π = t.
Da → R demnach eine Teilrelation von ≻ ist, folgt aus der Fundiertheit von ≻ daher
auch die Fundiertheit von → R .
“⇒”: Sei ≻ die Relation → R . Dann gilt offensichtlich l ≻ r für alle Regeln l → r ∈ R. Die
Stabilität und Monotonie von ≻ folgt aus Lemma 3.1.13 und die Fundiertheit von ≻
folgt aus der Terminierung von R.
✷
Sofern man eine zugrunde liegende Reduktionsrelation ≻ verwendet, bei der für alle
Terme s,t entscheidbar ist, ob s ≻ t gilt, ergibt sich mit Hilfe von Satz 4.3.4 sofort ein
Verfahren für automatische Terminierungsbeweise. Das Terminierungsverfahren untersucht
einfach, ob l ≻ r für alle Regeln l → r des TES gilt. In diesem Fall ist die Terminierung
des TES bewiesen. Obwohl Satz 4.3.4 ja ein hinreichendes und notwendiges Terminierungskriterium
darstellt, ist dies aber dennoch ein unvollständiges Beweisverfahren. Gibt es also
eine Regel mit l ⊁ r, so kann unser Verfahren keine Aussage über die Terminierung des
TES machen. Der Grund ist, dass es ja eine andere Reduktionsrelation ≻ ′ geben könnte,
bei der tatsächlich l ≻ ′ r für alle Regeln gilt.
Ein Algorithmus zur Entscheidung von s ≻ emb t für alle Terme s und t lässt sich leicht
angeben, da die beiden Bedingungen von Def. 4.3.1 wie in einem rekursiven Programm
2 Eine Relation → heißt antisymmetrisch gdw. aus s → t und t → s folgt, dass s = t gilt.
3 Eine Relation → heißt asymmetrisch gdw. es keine Objekte s und t mit s → t und t → s gibt.