Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Definition 4.3.1 (Einbettungsordnung) Für eine Signatur Σ ist die Einbettungsordnung<br />
≻ emb über T (Σ,V) definiert als s ≻ emb t gdw.<br />
• s = f(s 1 ,...,s n ) <strong>und</strong> s i ≽ emb t für ein i ∈ {1,...,n} oder<br />
• s = f(s 1 ,...,s n ), t = f(t 1 ,...,t n ), s i ≻ emb t i für ein i ∈ {1,...,n} <strong>und</strong> s j ≽ emb t j<br />
für alle j ∈ {1,...,n} mit j ≠ i.<br />
Hierbei bezeichnet ≽ emb die reflexive Hülle von ≻ emb , d.h., die Relation mit s ≽ emb t gdw.<br />
s ≻ emb t oder s = t.<br />
Beispielsweise erhalten wir also<br />
succ(plus(infty(succ(x)),y)) ≻ emb plus(infty(x),y),<br />
denn es gilt plus(infty(succ(x)),y) ≻ emb plus(infty(x),y). Der Gr<strong>und</strong> ist, dass y ≽ emb y <strong>und</strong><br />
infty(succ(x)) ≻ emb infty(x) gelten (denn wir haben succ(x) ≻ emb x wegen x ≽ emb x).<br />
Lemma 4.3.2 (Eigenschaften der Einbettungsordnung)<br />
≻ emb ist f<strong>und</strong>iert, stabil, monoton <strong>und</strong> transitiv.<br />
Die Einbettungsordnung<br />
Beweis. Die F<strong>und</strong>iertheit der Einbettungsordnung ist offensichtlich, da s ≻ emb t impliziert,<br />
dass t weniger Symbole als s enthält. (Dies lässt sich durch eine leichte strukturelle<br />
Induktion über s beweisen.) Somit ist ≻ emb eine Teilrelation von → || <strong>und</strong> damit f<strong>und</strong>iert.<br />
Die Stabilität zeigt man durch strukturelle Induktion über s. Falls s = f(s 1 ,...,s n )<br />
<strong>und</strong> s i ≽ emb t gilt, so gilt auch s i σ ≽ emb tσ nach der Induktionshypothese <strong>und</strong> somit<br />
sσ ≻ emb tσ. Falls s = f(s 1 ,...,s n ), t = f(t 1 ,...,t n ), s i ≻ emb t i <strong>und</strong> s j ≽ emb t j für j ≠ i,<br />
so folgt aus der Induktionshypothese s i σ ≻ emb t i σ <strong>und</strong> s j σ ≽ emb t j σ für j ≠ i. Damit gilt<br />
auch sσ = f(s 1 σ,...,s n σ) ≻ emb f(t 1 σ,...,t n σ) = tσ.<br />
Die Monotonie (d.h., dass aus s ≻ emb t auch q[s] π ≻ emb q[t] π folgt), beweist man<br />
durch Induktion über den Term q (bzw. über die Stelle π). Im Fall π = ǫ ist die Aussage<br />
trivial. Ansonsten hat π die Gestalt iπ ′ <strong>und</strong> q ist f(q 1 ,...,q n ). Damit gilt q[s] π =<br />
f(q 1 ,...,q i−1 ,q i [s] π ′,q i+1 ,...,q n ) ≻ emb f(q 1 ,...,q i−1 ,q i [t] π ′,q i+1 ,...,q n ) = q[t] π nach der<br />
Induktionshypothese q i [s] π ′ ≻ emb q i [t] π ′.<br />
Schließlich beweisen wir auch die Transitivität von ≻ emb . Hierzu zeigen wir durch strukturelle<br />
Induktion über den Term s, dass aus s ≻ emb t ≻ emb r folgt, dass auch s ≻ emb r<br />
gilt:<br />
Falls s = f(s 1 ,...,s n ) <strong>und</strong> s i ≽ emb t für ein i gilt, so folgt damit s i ≽ emb t ≻ emb r <strong>und</strong><br />
daher nach der Induktionshypothese s i ≻ emb r. Diesergibt wiederum s = f(s 1 ,...,s n ) ≻ emb<br />
r nach der Definition der Einbettungsordnung.<br />
Ansonsten gilt s = f(s 1 ,...,s i ,...,s n ), t = f(t 1 ,...,t i ,...,t n ), s i ≻ emb t i <strong>und</strong> s j ≽ emb<br />
t j für alle j ≠ i. Falls es ein k ∈ {1,...,n} mit t k ≽ emb r gibt, so folgt nach der Induktionshypothese<br />
auch s k ≽ emb r <strong>und</strong> damit s = f(s 1 ,...,s n ) ≻ emb r nach der Definition der Einbettungsordnung.<br />
Ansonsten gilt r = f(r 1 ,...,r n ) <strong>und</strong> t k ≽ emb r k für alle k ∈ {1,...,n}.<br />
Die Induktionshypothese ergibt s i ≻ emb r i <strong>und</strong> s j ≽ emb r j für alle j ≠ i. Daraus folgt<br />
s = f(s 1 ,...,s n ) ≻ emb f(r 1 ,...,r n ) = r.<br />
✷<br />
Relationen, die f<strong>und</strong>iert, monoton<strong>und</strong> stabil sind, bezeichnet man als Reduktionsrelationen.<br />
Ist solch eine Relation wie ≻ emb darüber hinaus auch noch transitiv, spricht man von