Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Definition 4.3.1 (Einbettungsordnung) Für eine Signatur Σ ist die Einbettungsordnung
≻ emb über T (Σ,V) definiert als s ≻ emb t gdw.
• s = f(s 1 ,...,s n ) und s i ≽ emb t für ein i ∈ {1,...,n} oder
• s = f(s 1 ,...,s n ), t = f(t 1 ,...,t n ), s i ≻ emb t i für ein i ∈ {1,...,n} und s j ≽ emb t j
für alle j ∈ {1,...,n} mit j ≠ i.
Hierbei bezeichnet ≽ emb die reflexive Hülle von ≻ emb , d.h., die Relation mit s ≽ emb t gdw.
s ≻ emb t oder s = t.
Beispielsweise erhalten wir also
succ(plus(infty(succ(x)),y)) ≻ emb plus(infty(x),y),
denn es gilt plus(infty(succ(x)),y) ≻ emb plus(infty(x),y). Der Grund ist, dass y ≽ emb y und
infty(succ(x)) ≻ emb infty(x) gelten (denn wir haben succ(x) ≻ emb x wegen x ≽ emb x).
Lemma 4.3.2 (Eigenschaften der Einbettungsordnung)
≻ emb ist fundiert, stabil, monoton und transitiv.
Die Einbettungsordnung
Beweis. Die Fundiertheit der Einbettungsordnung ist offensichtlich, da s ≻ emb t impliziert,
dass t weniger Symbole als s enthält. (Dies lässt sich durch eine leichte strukturelle
Induktion über s beweisen.) Somit ist ≻ emb eine Teilrelation von → || und damit fundiert.
Die Stabilität zeigt man durch strukturelle Induktion über s. Falls s = f(s 1 ,...,s n )
und s i ≽ emb t gilt, so gilt auch s i σ ≽ emb tσ nach der Induktionshypothese und somit
sσ ≻ emb tσ. Falls s = f(s 1 ,...,s n ), t = f(t 1 ,...,t n ), s i ≻ emb t i und s j ≽ emb t j für j ≠ i,
so folgt aus der Induktionshypothese s i σ ≻ emb t i σ und s j σ ≽ emb t j σ für j ≠ i. Damit gilt
auch sσ = f(s 1 σ,...,s n σ) ≻ emb f(t 1 σ,...,t n σ) = tσ.
Die Monotonie (d.h., dass aus s ≻ emb t auch q[s] π ≻ emb q[t] π folgt), beweist man
durch Induktion über den Term q (bzw. über die Stelle π). Im Fall π = ǫ ist die Aussage
trivial. Ansonsten hat π die Gestalt iπ ′ und q ist f(q 1 ,...,q n ). Damit gilt q[s] π =
f(q 1 ,...,q i−1 ,q i [s] π ′,q i+1 ,...,q n ) ≻ emb f(q 1 ,...,q i−1 ,q i [t] π ′,q i+1 ,...,q n ) = q[t] π nach der
Induktionshypothese q i [s] π ′ ≻ emb q i [t] π ′.
Schließlich beweisen wir auch die Transitivität von ≻ emb . Hierzu zeigen wir durch strukturelle
Induktion über den Term s, dass aus s ≻ emb t ≻ emb r folgt, dass auch s ≻ emb r
gilt:
Falls s = f(s 1 ,...,s n ) und s i ≽ emb t für ein i gilt, so folgt damit s i ≽ emb t ≻ emb r und
daher nach der Induktionshypothese s i ≻ emb r. Diesergibt wiederum s = f(s 1 ,...,s n ) ≻ emb
r nach der Definition der Einbettungsordnung.
Ansonsten gilt s = f(s 1 ,...,s i ,...,s n ), t = f(t 1 ,...,t i ,...,t n ), s i ≻ emb t i und s j ≽ emb
t j für alle j ≠ i. Falls es ein k ∈ {1,...,n} mit t k ≽ emb r gibt, so folgt nach der Induktionshypothese
auch s k ≽ emb r und damit s = f(s 1 ,...,s n ) ≻ emb r nach der Definition der Einbettungsordnung.
Ansonsten gilt r = f(r 1 ,...,r n ) und t k ≽ emb r k für alle k ∈ {1,...,n}.
Die Induktionshypothese ergibt s i ≻ emb r i und s j ≽ emb r j für alle j ≠ i. Daraus folgt
s = f(s 1 ,...,s n ) ≻ emb f(r 1 ,...,r n ) = r.
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Relationen, die fundiert, monotonund stabil sind, bezeichnet man als Reduktionsrelationen.
Ist solch eine Relation wie ≻ emb darüber hinaus auch noch transitiv, spricht man von