Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

ei der s ≻ t genau dann gilt, wenn s = endless(x) und t = endless(succ(x)) ist. Dennoch
terminiert der Algorithmus endless natürlich nicht.
Der Grund für dieses Problem ist, dass bei der Auswertung ja eine Instanz lσ der linken
Seite l durch die entsprechende Instanz rσ der rechten Seite ersetzt wird. Man muss daher
zusätzlich sicherstellen, dass aus l ≻ r jeweils auch lσ ≻ rσ folgt. Die Relation ≻ muss also
stabil, d.h., abgeschlossen unter Substitutionen, sein.
Wenn man auch die Stabilität von ≻ fordert, dann lässt sich die Terminierung des
endless-TES nicht mehr fälschlicherweise “beweisen”. Mit anderen Worten, es gibt keine
fundierte und stabile Relation ≻, die endless(x) ≻ endless(succ(x)) erfüllt. Der Grund
ist, dass für jede stabile Relation mit endless(x) ≻ endless(succ(x)) auch endless(x) ≻
endless(succ(x)) ≻ endless(succ(succ(x))) ≻ ... gelten würde, was der Fundiertheit widerspricht.
Ein Beispiel für eine fundierte Relation, die auch stabil ist, ist die echte Teiltermrelation
✄. Hier gilt s ✄ t gdw. t ein echter Teilterm von s ist. Dann folgt aber auch sσ ✄ tσ für
alle Substitutionen σ, da dann jeweils tσ auch ein echter Teilterm von sσ ist. Die fundierte
Relation → || , die Terme nach der Anzahl der darin vorkommenden Symbole vergleicht, ist
hingegen nicht stabil. Es gilt beispielsweise succ(x) → || y, aber succ(x)σ ↛ || yσ für die
Substitution σ = {y/succ(succ(x))}.
Wir benötigen allerdings noch eine weitere Forderung neben der Stabilität, um sicherzustellen,
dass aus (4.7) tatsächlich s ≻ t für alle Terme mit s → R t folgt. Als Beispiel
betrachten wir das TES mit der folgenden Regel.
infty(x) → succ(infty(x))
Es existiert eine fundierte und stabile Relation ≻, die die Bedingung (4.7) für dieses TES
erfüllt, d.h., infty(x) ≻ succ(infty(x)). Ein Beispiel ist die Relation ≻, die zwei Terme nur
nach ihrem äußersten Funktionssymbol vergleicht. Wir definieren also s ≻ t gdw. s =
infty(...) und t = succ(...). Die Fundiertheit und Stabilität der Relation ist offensichtlich.
Dennoch terminiert der Algorithmus infty nicht.
Der Grund ist, dass bei der Ersetzungsrelation die Ersetzung von instantiierten linken
Seiten durch instantiierte rechte Seiten ja für beliebige Teilterme möglich ist. Die Stabilität
von ≻ garantiert lσ ≻ rσ für alle Substitutionen σ; wir benötigen aber darüber hinaus noch
q[lσ] π ≻ q[rσ] π für alle Stellen π in allen Termen q. Eine Ungleichung wie lσ ≻ rσ muss
also auch dann noch gelten, wenn lσ und rσ in einem beliebigen Kontext auftreten. Die
Relation ≻ muss also auch noch monoton, d.h., abgeschlossen unter Kontexten, sein.
WennwirdieMonotoniefordern,kanndieTerminierungdesinfty-TESnichtmehrfälschlicherweise
nachgewiesen werden. Es existiert also keine monotone und fundierte Relation
≻, die infty(x) ≻ succ(infty(x)) erfüllt. Aus der Monotonie folgt nämlich infty(x) ≻
succ(infty(x)) ≻ succ(succ(infty(x))) ≻ ..., was der Fundiertheit widerspricht.
Die echte Teiltermrelation ist zwar stabil, aber nicht monoton. Der Grund ist, dass zwar
x ein echter Teilterm von succ(x) ist, d.h., succ(x) ✄ x, aber es gilt nicht infty(succ(x)) ✄
infty(x), denn infty(x) ist kein Teilterm von infty(succ(x)). Die Relation → || ist hingegen
zwar nicht stabil, aber dafür monoton. Wenn nämlich t weniger Symbole als s enthält (d.h.
s → || t), so enthält auch q[t] π weniger Symbole als q[s] π .
Ein Beispiel für eine Relation, die sowohl fundiert und stabil als auch monoton ist, ist
die folgende sogenannte Einbettungsordnung.