Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beweis. Wir betrachten zwei Fälle. Falls R terminiert, so gibt es nach Lemma 4.2.3
keinen Term t mit r i → + R t und t ☎ r i. Somit gibt der Algorithmus RIGHT-GROUND-
TERMINIERUNG also nicht “False” aus. Außerdem hat dann kein Term r i unendlich lange
Reduktionen. Da außerdem der Verzweigungsgrad der Ersetzungsrelation → R endlich ist,
folgt aufgrund des Lemmas von König (Satz 4.1.3), dass die Suchbäume für alle r i endlich
sind. Mit anderen Worten, nach endlich vielen Schritten sind alle T i = ∅ und der
Algorithmus terminiert mit der Ausgabe “True”.
Falls R nicht terminiert, so existiert nach Lemma 4.2.3 ein i ∈ {1,...,n} mit r i → + R t
und t ☎ r i . Nach endlich vielen Schritten gilt also t ∈ T i und der Algorithmus terminiert
mit der Ausgabe “False”.
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4.3 Terminierung mit Reduktionsrelationen
Nachdem wir ein Entscheidungsverfahren für die Terminierung bei TESen ohne Variablen
auf rechten Seiten kennen gelernt haben, wollen wir nun wieder den Fall allgemeiner TESe
untersuchen. Aufgrund der Unentscheidbarkeit des Halteproblems (Satz 4.2.1) wird jedes
automatische Verfahren unvollständig sein. Unser Ziel ist aber natürlich, ein Verfahren zu
entwickeln, das zumindest bei vielen praktisch interessanten TESen (und Programmen) die
Terminierung nachweisen kann.
Eine Grundidee, um die Terminierung eines TES R (bzw. die Fundiertheit der Ersetzungsrelation
→ R ) nachzuweisen, ist der Ansatz, eine fundierte Relation ≻ zu finden, in der
die Ersetzungsrelation enthalten ist. Mit anderen Worten, wir suchen nach einer Relation
≻, so dass für alle Terme s,t aus s → R t jeweils s ≻ t folgt. Offensichtlich ist dies für die
Terminierung hinreichend, d.h., aus der Fundiertheit von ≻ folgt dann die Fundiertheit von
→ R .
Das Ziel ist hierbei, eine solche Relation ≻ automatisch zu finden. Allerdings gibt es
natürlich im allgemeinen unendlich viele Terme s und t, so dass s → R t gilt. Es ist daher
automatisch nicht möglich, für all diese Terme zu untersuchen, ob dann auch wirklich s ≻ t
folgt.
Wirmüssendaherversuchen, dieseEigenschaft schondurchBetrachtungvonnurendlich
vielen Termpaaren s,t sicherzustellen. Die Ersetzungsrelation → R ist ja durch die (endlich
vielen) Regeln festgelegt, denn es gilt s → R t genau dann, wenn s| π = lσ und t = s[rσ] π
für eine Regel l → r ∈ R. Wir verlangen daher
l ≻ r für alle Regeln l → r ∈ R. (4.7)
Diese Forderung alleine stellt natürlich noch nicht sicher, dass auch wirklich aus s → R t
folgt, dass dann auch s ≻ t gilt.
Als Beispiel betrachten wir das TES mit der Regel
endless(x) → endless(succ(x)).
Eine fundierte Relation, die die Bedingung (4.7) erfüllt, lässt sich bei diesem TES leicht
angeben. Die Bedingung endless(x) ≻ endless(succ(x)) wird z.B. von der Relation erfüllt,