Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

dann alle Reduktionen der Länge 2, etc. Die führt man solange durch, bis entweder keine
weiteren Reduktionen mehr möglich sind (in diesem Fall terminiert das TES) oder bis man
einen Termtmit r i → + R tgefunden hat,der r i alsTeilterm enthält (indiesem Fallterminiert
das TES nicht). Im Unterschied zu einem entsprechenden Verfahren für die Terminierung
allgemeiner TESe (ähnlich zu dem Suchbaumverfahren aus dem Beweis von Satz 4.2.1) hat
man hier also zwei Einschränkungen:
1. Man muss nicht für alle Terme t einen Suchbaum mit den durch Reduktionen erhältlichen
Termen konstruieren, sondern nur für die (endlich vielen) rechten Seiten der
Regeln des TES.
2. Man kann die Konstruktion der (potentiell unendlichen) Suchbäume abbrechen, sobald
man im Suchbaum von r i einen Term t findet, der r i als Teilterm enthält. Es ist
aufgrund von Lemma 4.2.3 sicher gestellt, dass dies stets für ein r i der Fall ist, wenn
R nicht terminiert.
Algorithmus RIGHT-GROUND-TERMINIERUNG(R)
Eingabe: Ein TES R ohne Variablen auf rechten Seiten.
Ausgabe: “True”, falls R terminiert und sonst “False”.
1. Für R = {l 1 → r 1 ,...,l n → r n } sei T i = {r i }, 1 ≤ i ≤ n.
2. Für alle i setze T i = {t | s ∈ T i ,s → R t}.
3. Falls T i = ∅ für alle i, dann gib “True” aus und breche ab.
4. Falls es ein i und ein t ∈ T i gibt, so dass t☎r i , dann gib “False” aus und breche ab.
5. Gehe zu Schritt 2.
Beispiel 4.2.4 Wir betrachten wieder das TES aus Bsp. 4.2.2. In Schritt 1 setzen wir
T 1 = {true},T 2 = {false},T 3 = {and(true,not(true))},T 4 = {true},T 5 = {and(false,false)}.
In Schritt 2 ersetzt man die Terme in diesen Mengen durch diejenigen Terme, die
man durch einen Ersetzungsschritt erhält. So ergibt sich T 1 = T 2 = T 4 = ∅, T 3 =
{and(true,and(false,false))}, T 5 = {false,and(true,not(true))}.
InSchritt4stelltmanfest,dassand(true,and(false,false))̸☎and(true,not(true))unddass
sowohl false ̸☎and(false,false) als auch and(true,not(true)) ̸☎ and(false,false) gilt.
Somit erreicht man Schritt 5 und springt zurück zu Schritt 2. Im Folgenden bleiben T 1 ,
T 2 und T 4 leer und man erhält T 3 = {and(true,false),and(true,and(true,not(true)))} und
T 5 = {and(true,and(false,false))}.
In Schritt 4 bemerkt man nun, dass der Term and(true,and(true,not(true))) aus T 3 die
ursprüngliche rechte Seite and(true,not(true))alsTeilterm enthält. Ebenso enthält der Term
and(true,and(false,false)) aus T 5 die zugehörige rechte Seite and(false,false). Somit gibt der
Algorithmus “False” aus und terminiert.
Satz 4.2.5 (Entscheidbarkeit der Terminierung) Sei R ein TES, wobei V(r) = ∅
für alle l → r ∈ R. Dann ist entscheidbar, ob R terminiert und der Algorithmus RIGHT-
GROUND-TERMINIERUNG ist ein Entscheidungsverfahren.