Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

ob aus einer Menge von Axiomen bestimmte andere Aussagen folgen). Beispielsweise
kann man untersuchen, ob die Aussagen
plus(succ(succ(O)),x) ≡ plus(succ(O),succ(x)) (1.3)
plus(plus(x,y),z) ≡ plus(x,plus(y,z)) (1.4)
für das ursprüngliche Additionsprogramm mit den Gleichungen (1.1) und (1.2) (bei
beliebigen x,y,z) gilt. Die zweite Aussage bedeutet, dass wir überprüfen wollen, ob
dieses Programm eine assoziative Funktion berechnet.
Ähnliche Fragentretenauchbei derSpezifikationvonProgrammen auf. Einealgebraische
Spezifikation von Datentypen besteht aus der Angabe von bestimmten Axiomen
und die Frage ist, welche Aussagen über den Datentyp aus den Axiomen folgen. Als
Beispiel betrachten wir die Axiome, die Gruppen spezifizieren:
f(x,f(y,z)) ≡ f(f(x,y),z) (1.5)
f(x,e) ≡ x (1.6)
f(x,i(x)) ≡ e (1.7)
Hierbei ist f eine assoziative Verknüpfung, e ist das rechtsneutrale Element und i
ist die rechtsinverse Funktion. Ein Beispiel für eine Gruppe sind z.B. die ganzen
Zahlen, wobei f die Addition, e die Zahl 0 und i die Funktion ist, die zu einer Zahl
n jeweils die Zahl −n berechnet. Hier stellt sich z.B. die Frage, ob in jeder Gruppe
die inverse Funktion “selbstinvers” ist, d.h., ob eine zweimalige Anwendung von i
wieder das ursprüngliche Element erzeugt. Mit anderen Worten, man will wissen, ob
die Gleichung
i(i(n)) ≡ n (1.8)
für alleElemente nausden obigendrei Axiomen folgt. Diese Fragebezeichnet manals
Wortproblem. Dies ist tatsächlich der Fall, wie man durch eine (ziemlich lange und
komplizierte) Folge von Anwendungen dieser Gleichungen zeigen kann (siehe Bsp.
3.1.15, S. 25). Wir werden zeigen, wie man mit Hilfe von Termersetzungssystemen
solch eine Frage automatisch lösen kann.
• Wie kann man ein unvollständiges Programm automatisch vervollständigen
Hierbei wird die Frage untersucht, wie man aus einem nur unvollständig angegebenen
Programm (bzw. aus einer Menge von Axiomen) ein vollständiges (konfluentes
und terminierendes) Programm automatisch generieren kann. Beispielsweise ist das
Programm aus den beiden plus-Gleichungen (1.1) und (1.2) zusammen mit
plus(succ(x),y) ≡ plus(x,succ(y))
ja nicht mehr konfluent. Man kann es aber (automatisch) um die weitere Gleichung
plus(x,succ(y)) ≡ succ(plus(x,y))
ergänzen und erhält dadurch ein “äquivalentes” Programm, das sowohl konfluent als
auch terminierend ist. Die Frage ist, wie man solche Vervollständigungen automatisch
findet.