Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Das TES terminiert nicht, da es z.B. die folgende unendliche Reduktion gibt:
and(false,false) → R and(true,not(true))
→ R and(true,and(false,false))
→ R and(true,and(true,not(true)))
→ R ...
Zur Entwicklung eines Verfahrens für die Terminierungsüberprüfung solcher Systeme ist
das folgende Lemma hilfreich. Hierbei ist wichtig, dass wir nur endliche TESe R betrachten.
Lemma 4.2.3 (Terminierung von TESen ohne Variablen auf rechten Seiten)
Sei R ein TES, wobei V(r) = ∅ für alle l → r ∈ R gilt. Dann terminiert das TES R gdw.
es keine Regel l → r in R gibt, so dass r → + R
t für einen Term t gilt, der r als Teilterm
enthält.
Beweis. Die Richtung “⇒” ist offensichtlich, denn falls t| π = r ist, so erhält man die
unendliche Reduktion r → + R t = t[r] π → + R t[t] π = t[t[r] π ] π → + R ...
Wir zeigen die Richtung “⇐” durch Induktion über die Anzahl der Regeln in R. Hierzu
setzen wir voraus, dass es keine Regel l → r in R gibt, so dass r → + R
t für einen Term t
gilt, der r als Teilterm enthält. Falls R leer ist, so ist die zu zeigende Aussage trivial, denn
R terminiert.
Sei nun R ≠ ∅. Wir nehmen an, R terminiere nicht. Dann existiert ein minimaler Term
t mit unendlicher Reduktion t = t 0 → R t 1 → R .... Das bedeutet also, dass die Reduktion
von t nicht terminiert, aber alle seine echten Teilterme haben nur endliche Reduktionen.
(Denn hätte ein echter Teilterm ebenfalls unendliche Reduktionen, so würden wir diesen
Teilterm anstelle von t nehmen, etc.) Aufgrund der Minimalität folgt, dass in der unendlichen
Reduktion irgendwann einmal ein Auswertungsschritt an der obersten Position ǫ
stattfindet. Es gibt also ein i ∈ IN mit t i = lσ und t i+1 = rσ für eine Regel l → r ∈ R. Da
r keine Variablen besitzt, folgt also t i+1 = r, d.h., es existiert eine unendliche Reduktion
r → R t i+2 → R ..., die mit r beginnt. Wir betrachten nun zwei Fälle:
(1) Die Regel l → r wird in der unendlichen Reduktion r → R t i+2 → R ... nicht verwendet.
In diesem Fall terminiert bereits das TES R \ {l → r} nicht. Dies ist aber ein
Widerspruch zur Induktionshypothese.
(2) Ansonsten wird die Regel l → r in der unendlichen Reduktion von r verwendet, d.h.,
es existiert ein j ≥ i+1 mit r → ∗ R t j = t j [lσ ′ ] π → R t j [r] π = t j+1 . Dies widerspricht
der Voraussetzung.
✷
Beispielsweise hat das nicht-terminierende System aus Bsp. 4.2.2 die rechte Seite
and(false,false), die zu dem Term and(true,and(false,false)) reduziert werden kann, der diese
rechte Seite als Teilterm enthält.
Nun können wir ein Verfahren angeben, dasdie Terminierung bei TESen ohne Variablen
aufrechtenSeitenentscheiden kann:FüreinTESR = {l 1 → r 1 ,...,l n → r n }mitV(r i ) = ∅
für 1 ≤ i ≤ n generiert man erst alle Reduktionen der Länge 1, die mit r 1 ,...,r n beginnen,