Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

kann durch ein TES ausgedrückt werden. Dies bedeutet zum einen, dass TESe in der Tat
einen mächtigen Berechnungsformalismus darstellen und dass Techniken zur Analyse und
Untersuchung von TESen auch für andere Programmiersprachen verwendbar sein können.
Andererseits bedeutet es aber auch, dass es kein automatisches Verfahren gibt, das die
Terminierung von TESen immer entscheiden kann. Wir müssen uns also mit hinreichenden
Verfahren zufrieden geben, die möglichst viele terminierende TESe erkennen. Aus dem
Fehlschlag eines solchen Verfahrens kann man dann aber nicht auf die Nicht-Terminierung
des TES schließen.
Satz 4.2.1 (Unentscheidbarkeit des Halteproblems für TESe) Sei R ein TES über
Σ und V und sei t ∈ T (Σ,V). Das Problem, ob t keine unendliche Reduktion mit → R hat
(Halteproblem), ist unentscheidbar, aber semi-entscheidbar. Das Problem, ob R terminiert
(das universelle Halteproblem, d.h., die Frage, ob alle Terme nur endliche Reduktionen
haben), ist nicht einmal semi-entscheidbar.
Beweisskizze. Für jede Turingmaschine TM kann man ein TES R(TM) angeben, das die
Arbeitsweise von TM simuliert (siehe [HL78] bzw. [BN98, Abschnitt 5.1.1]). Damit folgen
die Unentscheidbarkeitsaussagen des Satzes aus der Unentscheidbarkeit des Halteproblems
für Turingmaschinen und aus der Tatsache, dass das universelle Halteproblem für Turingmaschinen
nicht einmal semi-entscheidbar ist [Her71].
Die Semi-Entscheidbarkeit des Halteproblems lässt sich wie folgt zeigen: Wir konstruieren
einen Suchbaum wie in Abschnitt 3.1. Die Wurzel des Baums wird mit t markiert und
jeder Knoten mit der Markierung u hat als Kinder die Knoten mit den Markierungen v für
alle Terme v mit u → R v. Aufgrund der Variablenbedingung V(r) ⊆ V(l) für alle Regeln
l → r eines TES lässt sich jeder Term nur zu endlich vielen Termen in einem Schritt reduzieren.
Der Suchbaum hat also einen endlichen Verzweigungsgrad. Der Term t terminiert
gdw. jeder Pfad in dem Baum endliche Länge hat. Aufgrund des Lemmas von König (Satz
4.1.3) bedeutet das also, dass t terminiert gdw. der Suchbaum nur endlich viele Knoten
hat. Das Semi-Entscheidungsverfahren baut also zu t den Suchbaum auf. Dieses Verfahren
terminiert mit Erfolg gdw. t nur endliche Reduktionen mit → R hat. ✷
Allerdings existiert ein Spezialfall, in dem die Terminierung entscheidbar ist, nämlich
bei TESen ohne Variablen auf den rechten Seiten der Regeln.
Beispiel 4.2.2 Wir betrachten das folgende TES, das keine Variablen auf den rechten
Seiten seiner Regeln hat.
and(true,true) → true
and(x,false) → false
and(false,x) → and(true,not(true))
not(false) → true
not(true) → and(false,false)