Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beweis. Wir nehmen an, die Induktionsformel (4.5) bzw. (4.6) gälte für alle m ∈ M, es
gäbe aber ein n 0 ∈ M, so dass ϕ(n 0 ) nicht gilt. Da (4.5) bzw. (4.6) auch für n 0 gilt, kann
damit ϕ(k) nicht für alle k ∈ M mit n 0 ≻ k zutreffen. Es gibt also ein n 1 ∈ M mit
n 0 ≻ n 1 , so dass ϕ(n 1 ) ebenfalls nicht gilt. Analog konstruiert man dann auch ein n 2 ∈ M
mit n 1 ≻ n 2 , so dass ϕ(n 2 ) auch nicht gilt, etc. Insgesamt 1 erhält man also eine unendlich
absteigende Folge
n 0 ≻ n 1 ≻ n 2 ≻ ...
Dies widerspricht aber der Fundiertheit von ≻.
Der nächste wichtige Satz, den wir im Folgenden benötigen, zeigt eine Anwendung der
noetherschen Induktion außerhalb der natürlichen Zahlen, Terme oder Stellen.
Satz 4.1.3 (Lemma von König) Ein Baum mit endlichem Verzweigungsgrad, in dem
jeder Pfad endlich ist, besitzt nur endlich viele Knoten.
Beweis. Wir betrachten einen Baum B mit endlichem Verzweigungsgrad, in dem jeder
Pfad endlich ist. Sei M die Menge aller Knoten des Baums und für alle m ∈ M sei B m der
Teilbaum, der vom Knoten m aufgespannt wird. Weiter sei ≻ eine Relation auf Knoten mit
m ≻ k gdw. k direktes Kind des Knotens m ist. Da jeder Pfad in dem Baum endlich ist,
ist ≻ fundiert. Wir zeigen für jeden Knoten n ∈ M die folgende Aussage ϕ(n):
“Der von n aufgespannte Teilbaum B n hat nur endlich viele Knoten”.
DadiesdannauchfürdieWurzelwdesBaumsgiltunddaB = B w ist,folgtdieBehauptung.
Die Aussage ∀n ∈ B. ϕ(n) wird durch noethersche Induktion über die angegebene
Relation ≻ bewiesen. Wir zeigen also für alle m ∈ B:
“Wenn ϕ(k) für alle k ∈ M mit m ≻ k gilt, so gilt auch ϕ(m).”
Anders ausgedrückt, bedeutet dies:
“Wenn für alle direkten Kinder k von m der Baum B k nur endlich viele Knoten hat,
dann hat auch B m nur endlich viele Knoten.”
Man erhält |B m | = 1+ ∑ k ist direktes Kind von m |B k|. Die Endlichkeit von |B k | für alle k ∈ K
folgt aus der Induktionshypothese. Da darüber hinaus der Verzweigungsgrad des Baums
endlich ist, hat m nur endlich viele direkte Kinder k. Somit ist also auch |B m | endlich. ✷
✷
4.2 Entscheidbarkeitsresultate zur Terminierung
Bevor wir Techniken entwickeln, um die Terminierung von TESen automatisch nachzuweisen,
wollen wir uns zunächst über die Grenzen solcher Verfahren klar werden. Das Halteproblem
ist nämlich in allen Turing-vollständigen Programmiersprachen unentscheidbar.
TESe sind eine solche Turing-vollständige Sprache, denn jedes berechenbare Programm
1 Formal benötigt man an dieser Stelle das Auswahlaxiom, da man diese Konstruktion unendlich oft
fortsetzen muss.