Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Beweis. Wir nehmen an, die Induktionsformel (4.5) bzw. (4.6) gälte für alle m ∈ M, es<br />
gäbe aber ein n 0 ∈ M, so dass ϕ(n 0 ) nicht gilt. Da (4.5) bzw. (4.6) auch für n 0 gilt, kann<br />
damit ϕ(k) nicht für alle k ∈ M mit n 0 ≻ k zutreffen. Es gibt also ein n 1 ∈ M mit<br />
n 0 ≻ n 1 , so dass ϕ(n 1 ) ebenfalls nicht gilt. Analog konstruiert man dann auch ein n 2 ∈ M<br />
mit n 1 ≻ n 2 , so dass ϕ(n 2 ) auch nicht gilt, etc. Insgesamt 1 erhält man also eine unendlich<br />
absteigende Folge<br />
n 0 ≻ n 1 ≻ n 2 ≻ ...<br />
Dies widerspricht aber der F<strong>und</strong>iertheit von ≻.<br />
Der nächste wichtige Satz, den wir im Folgenden benötigen, zeigt eine Anwendung der<br />
noetherschen Induktion außerhalb der natürlichen Zahlen, Terme oder Stellen.<br />
Satz 4.1.3 (Lemma von König) Ein Baum mit endlichem Verzweigungsgrad, in dem<br />
jeder Pfad endlich ist, besitzt nur endlich viele Knoten.<br />
Beweis. Wir betrachten einen Baum B mit endlichem Verzweigungsgrad, in dem jeder<br />
Pfad endlich ist. Sei M die Menge aller Knoten des Baums <strong>und</strong> für alle m ∈ M sei B m der<br />
Teilbaum, der <strong>vom</strong> Knoten m aufgespannt wird. Weiter sei ≻ eine Relation auf Knoten mit<br />
m ≻ k gdw. k direktes Kind des Knotens m ist. Da jeder Pfad in dem Baum endlich ist,<br />
ist ≻ f<strong>und</strong>iert. Wir zeigen für jeden Knoten n ∈ M die folgende Aussage ϕ(n):<br />
“Der von n aufgespannte Teilbaum B n hat nur endlich viele Knoten”.<br />
DadiesdannauchfürdieWurzelwdesBaumsgilt<strong>und</strong>daB = B w ist,folgtdieBehauptung.<br />
Die Aussage ∀n ∈ B. ϕ(n) wird durch noethersche Induktion über die angegebene<br />
Relation ≻ bewiesen. Wir zeigen also für alle m ∈ B:<br />
“Wenn ϕ(k) für alle k ∈ M mit m ≻ k gilt, so gilt auch ϕ(m).”<br />
Anders ausgedrückt, bedeutet dies:<br />
“Wenn für alle direkten Kinder k von m der Baum B k nur endlich viele Knoten hat,<br />
dann hat auch B m nur endlich viele Knoten.”<br />
Man erhält |B m | = 1+ ∑ k ist direktes Kind von m |B k|. Die Endlichkeit von |B k | für alle k ∈ K<br />
folgt aus der Induktionshypothese. Da darüber hinaus der Verzweigungsgrad des Baums<br />
endlich ist, hat m nur endlich viele direkte Kinder k. Somit ist also auch |B m | endlich. ✷<br />
✷<br />
4.2 Entscheidbarkeitsresultate zur Terminierung<br />
Bevor wir Techniken entwickeln, um die Terminierung von TESen automatisch nachzuweisen,<br />
wollen wir uns zunächst über die Grenzen solcher Verfahren klar werden. Das Halteproblem<br />
ist nämlich in allen Turing-vollständigen Programmiersprachen unentscheidbar.<br />
TESe sind eine solche Turing-vollständige Sprache, denn jedes berechenbare Programm<br />
1 Formal benötigt man an dieser Stelle das Auswahlaxiom, da man diese Konstruktion unendlich oft<br />
fortsetzen muss.