Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Definition 4.1.1 (Noethersches Induktionsprinzip) Sei ≻ eine fundierte Relation
über einer Menge M und sei ϕ(m) eine Aussage über Objekte m aus M. Für alle m ∈ M
gelte der folgende Sachverhalt:
Wenn ϕ(k) für alle k ∈ M mit m ≻ k gilt,
so gilt auch ϕ(m).
(4.5)
Dann gilt die Aussage ϕ(n) für alle n ∈ M.
Mit der obigen Kurzschreibweise lässt sich das noethersche Induktionsprinzip wie folgt
ausdrücken:
( ∀m ∈ M. ( ∀k ∈ M. m ≻ k ⇒ ϕ(k) ) ⇒ ϕ(m) ) ⇒ ∀n ∈ M. ϕ(n)
Mit der noetherschen Induktion reicht es also, die noethersche Induktionsformel
∀m ∈ M. ( ∀k ∈ M. m ≻ k ⇒ ϕ(k) ) ⇒ ϕ(m) (4.6)
zu zeigen, wenn ∀n ∈ M. ϕ(n) bewiesen werden soll.
Man erkennt, dass das Peano-Induktionsprinzip (4.1) ein Spezialfall der noetherschen
Induktion ist. Hierbei wählt man als M die natürlichen Zahlen IN und als ≻ wählt man
die Relation, bei der m ≻ k für zwei natürliche Zahlen m und k gilt, falls m = k + 1 ist.
Das Peano-Induktionsprinzip führt dabei eine Fallunterscheidung nach m = 0 und m ≠ 0
durch, was zum Induktionsanfang und zum Induktionsschluss führt. Im noetherschen Induktionsprinzip
verschmelzen Induktionsanfang und Induktionsschritt hingegen zu einer
Formel (4.6). Je nach Wahl der Relation ≻ kann es aus beweistechnischer Sicht günstig
sein, verschiedene Fallunterscheidungen durchzuführen. Dies kann dann zu mehreren Induktionsformeln
führen. Im allgemeinen bezeichnen wir jene Fälle als Induktionsanfang,
bei denen nur Objekte m betrachtet werden, zu denen es keine kleineren Objekte k mit
m ≻ k gibt. Die anderen Fälle entsprechen dem Induktionsschluss. Wie üblich wird die
Teilformel ∀k ∈ M. m ≻ k ⇒ ϕ(k) aus (4.6) als Induktionshypothese bezeichnet.
BeiderInduktionüberTermen(4.2)wirdalsfundierteRelationdiedirekteTeiltermrelation
verwendet. Selbstverständlich wäre es auch möglich, stattdessen die echte Teiltermrelation
✄ zu benutzen, denn diese ist ebenfalls fundiert. Dann hätte man im Induktionsschluss
beim Beweis von ϕ(t) die Aussage ϕ(q) für alle echten Teilterme q von t zur Verfügung.
Bei denInduktionen überStellenwerden zwei verschiedene fundierteRelationenverwendet.
Im Induktionsprinzip (4.3) benutzt man eine Relation mit π 1 ≻ π 2 gdw. π 1 = iπ 2 für
ein i ∈ IN. Im anderen Induktionsprinzip (4.4) setzt man hingegen π 1 ≻ π 2 gdw. π 1 = π 2 i
für ein i ∈ IN. Diese zweite Relation bedeutet, dass π 1 ≻ π 2 gilt gdw. die Stelle π 2 direkt
oberhalb der Stelle π 1 liegt. Natürlich wäre es auch möglich, stattdessen die Relation > IN ∗
zu verwenden, die ebenfalls fundiert ist. Dann hätte man im Induktionsschluss beim Beweis
von ϕ(π 1 ) die Aussage ϕ(π 2 ) für alle Stellen π 2 echt oberhalb von π 1 zur Verfügung.
Satz 4.1.2 (Korrektheit der Noetherschen Induktion) Das noethersche Induktionsprinzip
ist korrekt.