Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Definition 4.1.1 (Noethersches Induktionsprinzip) Sei ≻ eine f<strong>und</strong>ierte Relation<br />
über einer Menge M <strong>und</strong> sei ϕ(m) eine Aussage über Objekte m aus M. Für alle m ∈ M<br />
gelte der folgende Sachverhalt:<br />
Wenn ϕ(k) für alle k ∈ M mit m ≻ k gilt,<br />
so gilt auch ϕ(m).<br />
(4.5)<br />
Dann gilt die Aussage ϕ(n) für alle n ∈ M.<br />
Mit der obigen Kurzschreibweise lässt sich das noethersche Induktionsprinzip wie folgt<br />
ausdrücken:<br />
( ∀m ∈ M. ( ∀k ∈ M. m ≻ k ⇒ ϕ(k) ) ⇒ ϕ(m) ) ⇒ ∀n ∈ M. ϕ(n)<br />
Mit der noetherschen Induktion reicht es also, die noethersche Induktionsformel<br />
∀m ∈ M. ( ∀k ∈ M. m ≻ k ⇒ ϕ(k) ) ⇒ ϕ(m) (4.6)<br />
zu zeigen, wenn ∀n ∈ M. ϕ(n) bewiesen werden soll.<br />
Man erkennt, dass das Peano-Induktionsprinzip (4.1) ein Spezialfall der noetherschen<br />
Induktion ist. Hierbei wählt man als M die natürlichen Zahlen IN <strong>und</strong> als ≻ wählt man<br />
die Relation, bei der m ≻ k für zwei natürliche Zahlen m <strong>und</strong> k gilt, falls m = k + 1 ist.<br />
Das Peano-Induktionsprinzip führt dabei eine Fallunterscheidung nach m = 0 <strong>und</strong> m ≠ 0<br />
durch, was zum Induktionsanfang <strong>und</strong> zum Induktionsschluss führt. Im noetherschen Induktionsprinzip<br />
verschmelzen Induktionsanfang <strong>und</strong> Induktionsschritt hingegen zu einer<br />
Formel (4.6). Je nach Wahl der Relation ≻ kann es aus beweistechnischer Sicht günstig<br />
sein, verschiedene Fallunterscheidungen durchzuführen. Dies kann dann zu mehreren Induktionsformeln<br />
führen. Im allgemeinen bezeichnen wir jene Fälle als Induktionsanfang,<br />
bei denen nur Objekte m betrachtet werden, zu denen es keine kleineren Objekte k mit<br />
m ≻ k gibt. Die anderen Fälle entsprechen dem Induktionsschluss. Wie üblich wird die<br />
Teilformel ∀k ∈ M. m ≻ k ⇒ ϕ(k) aus (4.6) als Induktionshypothese bezeichnet.<br />
BeiderInduktionüberTermen(4.2)wirdalsf<strong>und</strong>ierteRelationdiedirekteTeiltermrelation<br />
verwendet. Selbstverständlich wäre es auch möglich, stattdessen die echte Teiltermrelation<br />
✄ zu benutzen, denn diese ist ebenfalls f<strong>und</strong>iert. Dann hätte man im Induktionsschluss<br />
beim Beweis von ϕ(t) die Aussage ϕ(q) für alle echten Teilterme q von t zur Verfügung.<br />
Bei denInduktionen überStellenwerden zwei verschiedene f<strong>und</strong>ierteRelationenverwendet.<br />
Im Induktionsprinzip (4.3) benutzt man eine Relation mit π 1 ≻ π 2 gdw. π 1 = iπ 2 für<br />
ein i ∈ IN. Im anderen Induktionsprinzip (4.4) setzt man hingegen π 1 ≻ π 2 gdw. π 1 = π 2 i<br />
für ein i ∈ IN. Diese zweite Relation bedeutet, dass π 1 ≻ π 2 gilt gdw. die Stelle π 2 direkt<br />
oberhalb der Stelle π 1 liegt. Natürlich wäre es auch möglich, stattdessen die Relation > IN ∗<br />
zu verwenden, die ebenfalls f<strong>und</strong>iert ist. Dann hätte man im Induktionsschluss beim Beweis<br />
von ϕ(π 1 ) die Aussage ϕ(π 2 ) für alle Stellen π 2 echt oberhalb von π 1 zur Verfügung.<br />
Satz 4.1.2 (Korrektheit der Noetherschen Induktion) Das noethersche Induktionsprinzip<br />
ist korrekt.