Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

sich automatisch generieren lassen, sind die lexikographische und die rekursive Pfadordnung,
die in Abschnitt 4.4 vorgestellt werden.
4.1 Noethersche Induktion
Wie erläutert, bedeutet der Terminierungsnachweis, dass man zeigen muss, ob eine bestimmte
Relation fundiert ist, d.h., ob es keine unendlich absteigenden Folgen mit dieser
Relation gibt. Die Frage, ob eine Relation fundiert ist, stellt sich nicht nur für Terminierungsuntersuchungen,
sondern sie ist auch nötig, wenn man Induktionsbeweise anhand
dieser Relation durchführen will.
Wir haben bereits strukturelle Induktion für verschiedene Datenstrukturen (wie natürliche
Zahlen, Terme, Stellen, etc.) kennen gelernt. Es stellt sich heraus, dass all diese Beweisverfahren
Spezialfälle eines noch allgemeineren Beweisprinzips (der sogenannten “noetherschen
Induktion”) sind.
Das Induktionsprinzip für natürliche Zahlen besagt, dass es ausreicht, ϕ(0) und
∀y ∈ IN. ϕ(y) ⇒ ϕ(y + 1) zu zeigen, um ∀x ∈ IN. ϕ(x) zu beweisen. Diese Form der
Induktion wird auch als Peano-Induktion bezeichnet. Analoge Induktionsprinzipien haben
wir für die Datenstruktur der Terme und die Datenstruktur der Stellen betrachtet. Im Folgenden
verwenden wir den Quantor “∀” und die Implikation “⇒” als Kurzschreibweise in
der Metasprache, d.h., in der Sprache, in der wir über Formeln oder andere Konzepte der
Objektsprache reden. Die bislang verwendeten strukturellen Induktionsprinzipien lauten
dann wie folgt:
ϕ(0)∧(∀y ∈ IN. ϕ(y) ⇒ ϕ(y +1)) ⇒ ∀x ∈ IN. ϕ(x) (4.1)
(∀x ∈ V. ϕ(x)) ∧
⇒ ∀t ∈ T (Σ,V). ϕ(t) (4.2)
(∀t 1 ,..,t n ∈ T (Σ,V). ∀f ∈ Σ. ϕ(t 1 )∧..∧ϕ(t n ) ⇒ ϕ(f(t 1 ,..,t n )))
ϕ(ǫ)∧(∀π ′ ∈ IN ∗ . ∀i ∈ IN. ϕ(π ′ ) ⇒ ϕ(iπ ′ )) ⇒ ∀π ∈ IN ∗ . ϕ(π) (4.3)
ϕ(ǫ)∧(∀π ′ ∈ IN ∗ . ∀i ∈ IN. ϕ(π ′ ) ⇒ ϕ(π ′ i)) ⇒ ∀π ∈ IN ∗ . ϕ(π) (4.4)
Diese Induktionsprinzipien lassen sich nun verallgemeinern. Zum einen werden wir nicht
nur über natürliche Zahlen, Terme oder Stellen induzieren, sondern über beliebige Mengen
M. Außerdem werden wir auch weitere Arten des Induktionsschritts einführen. Im Peano-
Induktionsprinzip wird der Induktionsschritt von y auf y + 1 durchgeführt. Mit anderen
Worten,wennmanimInduktionsschluss dieAussagefüreineZahly+1zeigenwill,darfman
als Induktionshypothese voraussetzen, dass die Aussage bereits für den direkten Vorgänger
y gilt.
Wir verallgemeinern dieses Induktionsprinzip jetzt wie folgt: Wenn man im Induktionsschluss
die Aussage für ein Objekt m ∈ M zeigen will, so darf man als Induktionshypothese
voraussetzen, dass die Aussage bereits für alle solchen Objekte k ∈ M gilt, die kleiner als
m sind. Hierbei muss man natürlich festlegen, was es bedeuten soll, dass manche Objekte
aus M “kleiner” als andere Objekte aus M sind. Im folgenden Induktionsprinzip darf man
zum Vergleich von Objekten aus M eine beliebige Relation ≻ auf M verwenden; die einzige
Bedingung, die an ≻ gestellt wird, ist, dass sie fundiert ist. Die folgende Definition führt
dieses Induktionsprinzip ein, das nach der Logikerin Emmy Noether benannt ist.