Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Kapitel 4
Terminierung von
Termersetzungssystemen
Im vorigen Kapitel wurde ein Entscheidungsverfahren (der Algorithmus WORTPROBLEM)
für das Wortproblem über einem Gleichungssystem E vorgestellt. Dieses Verfahren verwendet
ein zu E äquivalentes Termersetzungssystem R, das konvergent ist, d.h., es muss
terminieren und konfluent sein. Wie in Abschnitt 3.3 bereits skizziert, benötigt man daher
insbesondere ein Verfahren, um (automatisch) zu überprüfen, ob ein gegebenes TES
terminiert. Außerdem wird sich herausstellen, dass die Terminierung eines TES auch Voraussetzung
für das Verfahren zur Überprüfung der Konfluenz in Kapitel 5 ist.
Die Fragestellung der Terminierung ist darüber hinaus natürlich generell bei der Softwareentwicklung
von großem Interesse. Von einem korrekten Programm wird (oftmals) erwartet,
dass es sein Resultat in endlicher Zeit berechnet und nicht in eine “Endlosschleife”
gerät. Die Terminierungsanalyse ist daher ein wichtiger Bestandteil der Programmverifikation.
In diesem Kapitel werden daher Techniken vorgestellt, um die Terminierung eines
TES automatisch nachzuweisen. Diese Techniken lassen sich dann auch für die Terminierungsanalyse
von Programmen in anderen Programmiersprachen verwenden, vgl. [Gie03].
Die Terminierung eines Programms oder eines TES hängt direkt mit dem Begriff der
fundierten Relation zusammen, denn ein TES R terminiert gdw. seine Ersetzungsrelation
→ R fundiert ist. In Abschnitt 4.1 stellen wir ein grundlegendes Resultat über fundierte
Relationen vor, das im Folgenden verwendet wird. Es zeigt den Zusammenhang zwischen
Terminierung und Induktion, wodurch deutlich wird, dass ein Verfahren zur automatischen
Terminierungsanalyse auch benötigt wird, um rechnergestützte Induktionsbeweise durchzuführen
[Gie03].
Anschließend betrachten wir in Abschnitt 4.2 ein erstes Verfahren zur TerminierungsüberprüfungbeisolchenTESen,
beidenenaufdenrechtenSeitenderRegelnkeineVariablen
auftreten. Während hier die Frage der Terminierung entscheidbar ist, lässt sich im allgemeinen
kein Verfahren angeben, das die Terminierung aller TESe entscheiden kann (dies
beruht auf der Unentscheidbarkeit des Halteproblems). Im allgemeinen werden wir uns also
mit einem hinreichenden und unvollständigen Verfahren zufrieden geben müssen.
Hierzu entwickeln wir in Abschnitt 4.3 einen Ansatz für (automatische) Terminierungsbeweise,
der darauf beruht, die linken und rechten Seiten der Regeln mit Hilfe bestimmter
Relationen zu vergleichen. Eine besonders gut dafür geeignete Klasse von Relationen, die
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