Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Nun überprüft man, ob die beiden Normalformen identisch sind. Da dies hier der Fall ist,
ist damit i(f(i(u),f(v,u)))≡ E f(i(u),f(i(v),u)) bewiesen.
Bei Verwendung eines konvergenten Termersetzungssystems ist der Aufwand zur Untersuchung
des Wortproblems nicht mehr notwendigerweise exponentiell (wie in Abschnitt
3.1), denn der Verzweigungsgrad bei der Reduktion ist jetzt 1. Indeterminismen dürfen nun
willkürlich aufgelöst werden, ohne die Beweisbarkeit zu verlieren. Es handelt sich jetzt auch
nicht mehr um ein Suchverfahren, sondern die Gültigkeit einer Gleichung s ≡ E t wird hier
genauso ausgerechnet, wie sich plus(2,1) ausrechnen lässt. Die Voraussetzung dabei ist, dass
R äquivalent zu dem Gleichungssystem E und konvergent (d.h., terminierend und konfluent)
ist. Im Unterschied zum Verfahren von Abschnitt 3.1 handelt es sich hier auch nicht
mehr um ein Semi-Entscheidungsverfahren. Der Algorithmus WORTPROBLEM terminiert
stets, d.h., er kann die Gültigkeit einer Gleichung entscheiden.
Im Folgendenwirdes daher darumgehen, zueinem Gleichungssystem E einäquivalentes
und konvergentes TES zu konstruieren, um ein Entscheidungsverfahren für das Wortproblem
über E zu erhalten. Da das Wortproblem für beliebige Gleichungssysteme E im allgemeinen
jedoch unentscheidbar ist (vgl. [BN98, Ex. 4.1.3, 4.1.4], [Ave95, Abschnitt 2.4]),
wird dies nicht immer gelingen. Jedoch ist man für viele praktisch relevante Gleichungsmengen
erfolgreich, wie sich im Folgenden herausstellen wird. Zur Lösung dieser Aufgabe
gehen wir im Prinzip auf folgende Art und Weise vor:
1. Konstruiere zu der gegebenen Gleichungsmenge E ein äquivalentes TES R (z.B. durch
Richten der Gleichungen in E).
2. Überprüfe, ob R terminiert. Wenn dies nicht gezeigt werden kann, gibt man mit
Fehlschlag auf.
3. Überprüfe, ob R konfluent ist. Falls ja, so ist R konvergent und zu E äquivalent. Wir
haben damit ein Entscheidungsverfahren für das Wortproblem über E konstruiert und
können das Vorgehen mit Erfolg beenden.
4. Falls nein, so führen wir einen Vervollständigungsschritt aus, indem wir R um neue
Regeln ergänzen. Hierbei muss sicher gestellt sein, dass dadurch die Korrektheit von
R erhalten bleibt (d.h., man darf R nur um solche Regeln l → r ergänzen, für die
l ≡ E r gilt). Nun geht man zurück zu Schritt 2.
Das Vorgehen lässt sich durch das Flußdiagramm in Abb. 3.1 verdeutlichen. Es stellen
sich somit folgende Fragen:
I. Wie kann man zu einem TES herausfinden, ob es terminiert (Kapitel 4)
II. Wie kann man zu einem (terminierenden) TES herausfinden, ob es konfluent ist
(Kapitel 5)
III. Wie kann man ein terminierendes TES vervollständigen, um ein konfluentes (und
äquivalentes) TES zu erhalten (Kapitel 6)