Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Nun überprüft man, ob die beiden Normalformen identisch sind. Da dies hier der Fall ist,<br />
ist damit i(f(i(u),f(v,u)))≡ E f(i(u),f(i(v),u)) bewiesen.<br />
Bei Verwendung eines konvergenten Termersetzungssystems ist der Aufwand zur Untersuchung<br />
des Wortproblems nicht mehr notwendigerweise exponentiell (wie in Abschnitt<br />
3.1), denn der Verzweigungsgrad bei der Reduktion ist jetzt 1. Indeterminismen dürfen nun<br />
willkürlich aufgelöst werden, ohne die Beweisbarkeit zu verlieren. Es handelt sich jetzt auch<br />
nicht mehr um ein Suchverfahren, sondern die Gültigkeit einer Gleichung s ≡ E t wird hier<br />
genauso ausgerechnet, wie sich plus(2,1) ausrechnen lässt. Die Voraussetzung dabei ist, dass<br />
R äquivalent zu dem Gleichungssystem E <strong>und</strong> konvergent (d.h., terminierend <strong>und</strong> konfluent)<br />
ist. Im Unterschied zum Verfahren von Abschnitt 3.1 handelt es sich hier auch nicht<br />
mehr um ein Semi-Entscheidungsverfahren. Der Algorithmus WORTPROBLEM terminiert<br />
stets, d.h., er kann die Gültigkeit einer Gleichung entscheiden.<br />
Im Folgendenwirdes daher darumgehen, zueinem Gleichungssystem E einäquivalentes<br />
<strong>und</strong> konvergentes TES zu konstruieren, um ein Entscheidungsverfahren für das Wortproblem<br />
über E zu erhalten. Da das Wortproblem für beliebige Gleichungssysteme E im allgemeinen<br />
jedoch unentscheidbar ist (vgl. [BN98, Ex. 4.1.3, 4.1.4], [Ave95, Abschnitt 2.4]),<br />
wird dies nicht immer gelingen. Jedoch ist man für viele praktisch relevante Gleichungsmengen<br />
erfolgreich, wie sich im Folgenden herausstellen wird. Zur Lösung dieser Aufgabe<br />
gehen wir im Prinzip auf folgende Art <strong>und</strong> Weise vor:<br />
1. Konstruiere zu der gegebenen Gleichungsmenge E ein äquivalentes TES R (z.B. durch<br />
Richten der Gleichungen in E).<br />
2. Überprüfe, ob R terminiert. Wenn dies nicht gezeigt werden kann, gibt man mit<br />
Fehlschlag auf.<br />
3. Überprüfe, ob R konfluent ist. Falls ja, so ist R konvergent <strong>und</strong> zu E äquivalent. Wir<br />
haben damit ein Entscheidungsverfahren für das Wortproblem über E konstruiert <strong>und</strong><br />
können das Vorgehen mit Erfolg beenden.<br />
4. Falls nein, so führen wir einen Vervollständigungsschritt aus, indem wir R um neue<br />
Regeln ergänzen. Hierbei muss sicher gestellt sein, dass dadurch die Korrektheit von<br />
R erhalten bleibt (d.h., man darf R nur um solche Regeln l → r ergänzen, für die<br />
l ≡ E r gilt). Nun geht man zurück zu Schritt 2.<br />
Das Vorgehen lässt sich durch das Flußdiagramm in Abb. 3.1 verdeutlichen. Es stellen<br />
sich somit folgende Fragen:<br />
I. Wie kann man zu einem TES herausfinden, ob es terminiert (Kapitel 4)<br />
II. Wie kann man zu einem (terminierenden) TES herausfinden, ob es konfluent ist<br />
(Kapitel 5)<br />
III. Wie kann man ein terminierendes TES vervollständigen, um ein konfluentes (<strong>und</strong><br />
äquivalentes) TES zu erhalten (Kapitel 6)