Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Beispiel 3.3.23 Wir betrachten wieder die Gleichungen E zur Axiomatisierung von Gruppen,<br />
d.h., E = {f(x,f(y,z)) ≡ f(f(x,y),z),f(x,e) ≡ x,f(x,i(x)) ≡ e}. Bei Ersetzung des<br />
Gleichheitszeichens ≡ durch einen Pfeil → erhält man ein zu E äquivalentes TES:<br />
f(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z) (3.3)<br />
f(x,e) → x (3.4)<br />
f(x,i(x)) → e (3.5)<br />
Das obige TES terminiert, d.h., jeder Term besitzt (mindestens) eine Normalform. Wenn<br />
wir wieder untersuchen wollen, ob i(i(n)) ≡ E n gilt, können wir den Algorithmus WORT-<br />
PROBLEM aber nicht benutzen. Das Problem ist, dass sowohl i(i(n)) als auch n bereits<br />
Normalformen sind. Diese sind nicht identisch, obwohl wir bereits in Bsp. 3.1.15 gezeigt<br />
hatten, dass i(i(n)) ≡ E n eine wahre Aussage ist.<br />
Das Problem liegt daran, dass das obige TES nicht konfluent ist. Beispielsweise gilt<br />
f(x,f(y,i(y)))→ f(f(x,y),i(y)) <strong>und</strong><br />
f(x,f(y,i(y))) → f(x,e) → x,<br />
d.h., f(f(x,y),i(y)) ↔ ∗ x. Die beiden Terme sind aber nicht zusammenführbar, d.h.,<br />
f(f(x,y),i(y)) ̸↓ x. Wenn man daran interessiert ist, welche Aussagen aus einem Gleichungssystem<br />
folgen, kann man also im allgemeinen nicht einfach dieses Gleichungssystem<br />
als TES verwenden, denn typischerweise ist solch ein TES nicht konvergent. In unserem<br />
Beispiel muss man das obige TES um einige weitere Regeln ergänzen, so dass das TES weiterhin<br />
äquivalent zu E <strong>und</strong> terminierend bleibt, aber zusätzlich auch konfluent wird. Wenn<br />
man beispielsweise die Regel f(f(x,y),i(y))→ x hinzufügt, sind die beiden Terme natürlich<br />
zusammenführbar. Insgesamt muss man das obige TES wie folgt vervollständigen:<br />
f(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z) (3.3) f(e,x) → x (∗3)<br />
f(x,e) → x (3.4) i(i(x)) → x (∗4)<br />
f(x,i(x)) → e (3.5) f(i(x),x) → e (∗5)<br />
f(f(x,y),i(y)) → x (∗1) f(f(x,i(y)),y) → x (∗6)<br />
i(e) → e (∗2) i(f(x,y)) → f(i(y),i(x)) (∗7)<br />
Dieses TES R ist konvergent <strong>und</strong> äquivalent zu E. Man kann daher mit diesem TES jede<br />
(Gleichheits-)aussage über Gruppen automatisch entscheiden. Für die Aussage i(i(n)) ≡ E n<br />
ist dies natürlich trivial, denn mit Regel (∗4) gilt i(i(n)) → R n.<br />
Der Nachweis von i(f(i(u),f(v,u))) ≡ E f(i(u),f(i(v),u)) ist hingegen aufwendiger. Hierzu<br />
berechnet man gemäß des Algorithmus WORTPROBLEM zuerst die Normalform von<br />
i(f(i(u),f(v,u))). Hierbei darf man beliebige Reduktionen anwenden.<br />
i(f(i(u),f(v,u))) i(f(x,y)) → f(i(y),i(x)) (∗7) σ = {x/i(u),y/f(v,u)}<br />
f(i(f(v,u)),i 2 (u)) i(f(x,y)) → f(i(y),i(x)) (∗7) σ = {x/v,y/u}<br />
f(f(i(u),i(v)),i 2 (u)) i(i(x)) → x (∗4) σ = {x/u}<br />
f(f(i(u),i(v)),u)<br />
Anschließend berechnet man die Normalform von f(i(u),f(i(v),u)):<br />
f(i(u),f(i(v),u)) f(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z) (3.3) σ = {x/i(u),y/i(v),z/u}<br />
f(f(i(u),i(v)),u)