Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 3.3.23 Wir betrachten wieder die Gleichungen E zur Axiomatisierung von Gruppen,
d.h., E = {f(x,f(y,z)) ≡ f(f(x,y),z),f(x,e) ≡ x,f(x,i(x)) ≡ e}. Bei Ersetzung des
Gleichheitszeichens ≡ durch einen Pfeil → erhält man ein zu E äquivalentes TES:
f(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z) (3.3)
f(x,e) → x (3.4)
f(x,i(x)) → e (3.5)
Das obige TES terminiert, d.h., jeder Term besitzt (mindestens) eine Normalform. Wenn
wir wieder untersuchen wollen, ob i(i(n)) ≡ E n gilt, können wir den Algorithmus WORT-
PROBLEM aber nicht benutzen. Das Problem ist, dass sowohl i(i(n)) als auch n bereits
Normalformen sind. Diese sind nicht identisch, obwohl wir bereits in Bsp. 3.1.15 gezeigt
hatten, dass i(i(n)) ≡ E n eine wahre Aussage ist.
Das Problem liegt daran, dass das obige TES nicht konfluent ist. Beispielsweise gilt
f(x,f(y,i(y)))→ f(f(x,y),i(y)) und
f(x,f(y,i(y))) → f(x,e) → x,
d.h., f(f(x,y),i(y)) ↔ ∗ x. Die beiden Terme sind aber nicht zusammenführbar, d.h.,
f(f(x,y),i(y)) ̸↓ x. Wenn man daran interessiert ist, welche Aussagen aus einem Gleichungssystem
folgen, kann man also im allgemeinen nicht einfach dieses Gleichungssystem
als TES verwenden, denn typischerweise ist solch ein TES nicht konvergent. In unserem
Beispiel muss man das obige TES um einige weitere Regeln ergänzen, so dass das TES weiterhin
äquivalent zu E und terminierend bleibt, aber zusätzlich auch konfluent wird. Wenn
man beispielsweise die Regel f(f(x,y),i(y))→ x hinzufügt, sind die beiden Terme natürlich
zusammenführbar. Insgesamt muss man das obige TES wie folgt vervollständigen:
f(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z) (3.3) f(e,x) → x (∗3)
f(x,e) → x (3.4) i(i(x)) → x (∗4)
f(x,i(x)) → e (3.5) f(i(x),x) → e (∗5)
f(f(x,y),i(y)) → x (∗1) f(f(x,i(y)),y) → x (∗6)
i(e) → e (∗2) i(f(x,y)) → f(i(y),i(x)) (∗7)
Dieses TES R ist konvergent und äquivalent zu E. Man kann daher mit diesem TES jede
(Gleichheits-)aussage über Gruppen automatisch entscheiden. Für die Aussage i(i(n)) ≡ E n
ist dies natürlich trivial, denn mit Regel (∗4) gilt i(i(n)) → R n.
Der Nachweis von i(f(i(u),f(v,u))) ≡ E f(i(u),f(i(v),u)) ist hingegen aufwendiger. Hierzu
berechnet man gemäß des Algorithmus WORTPROBLEM zuerst die Normalform von
i(f(i(u),f(v,u))). Hierbei darf man beliebige Reduktionen anwenden.
i(f(i(u),f(v,u))) i(f(x,y)) → f(i(y),i(x)) (∗7) σ = {x/i(u),y/f(v,u)}
f(i(f(v,u)),i 2 (u)) i(f(x,y)) → f(i(y),i(x)) (∗7) σ = {x/v,y/u}
f(f(i(u),i(v)),i 2 (u)) i(i(x)) → x (∗4) σ = {x/u}
f(f(i(u),i(v)),u)
Anschließend berechnet man die Normalform von f(i(u),f(i(v),u)):
f(i(u),f(i(v),u)) f(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z) (3.3) σ = {x/i(u),y/i(v),z/u}
f(f(i(u),i(v)),u)