Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Folgende Fragestellungen sind typisch bei der Programmanalyse und -verifikation und
in der Vorlesung werden wir Techniken kennen lernen, um diese Fragen automatisch zu
untersuchen:
• Ist das Resultat eines Programms immer eindeutig (Konfluenz)
Die Frage ist hierbei, ob man trotz verschiedener möglicher Anwendungen von Gleichungen
stets zu demselben Ergebnis kommt. Im obigen Programm ist dies der Fall.
So kann man zwar zur Auswertung des Terms
plus(O,plus(succ(O),O))
Gleichungen auf verschiedene Weise anwenden. Es stellt sich aber heraus, dass das
Programm trotzdem deterministisch ist, d.h., das Ergebnis zum Schluss ist immer das
Gleiche.
Im allgemeinen ist dies aber natürlich nicht garantiert. Hierzu ergänzen wir das Programm
um die folgende Gleichung.
plus(succ(x),y) ≡ plus(x,succ(y))
Auf Grundtermen (d.h., Termen ohne Variablen, die nur aus plus, succ, und O bestehen)
bleibt die Konfluenz erhalten, aber auf beliebigen Termen nicht. So kann man
nun plus(succ(x),y) sowohl zu plus(x,succ(y)) als auch zu succ(plus(x,y)) auswerten
und danach ist keine weitere Auswertung möglich. Die Auswertung hat also zwei
unterschiedliche Ergebnisse. Wir werden Verfahren kennen lernen, die die Konfluenz
eines Programms automatisch untersuchen.
• Hält ein Programm immer nach endlich vielen Schritten an (Terminierung)
Dies bedeutet, dass das Programm keine unendlichen Auswertungsfolgen haben darf.
Im obigen Beispiel erkennt man, dass bei jedem rekursiven Aufruf das erste Argument
kleiner wird. Bei der Auswertungsfolge für “2+1” ist das erste Argument zunächst
2 (d.h. succ(succ(O))), dann 1 (succ(O)) und zuletzt 0 (d.h. O). Da Argumente nie
unendlich oft kleiner werden können, bedeutet das, dass immer nur endlich viele
rekursive Aufrufe möglich sind. Daher terminiert der Algorithmus plus.
Würde man hingegen das Programm um die weitere Gleichung
plus(x,y) ≡ plus(y,x)
ergänzen, so würde das Programm nicht mehr terminieren, denn es gibt (unter anderem)
die folgende unendliche Auswertung:
plus(succ(O),O) → plus(O,succ(O)) → plus(succ(O),O) → plus(O,succ(O)) → ...
Wir werden Techniken vorstellen, die die Terminierung von Programmen automatisch
nachweisen können.
• Erfüllt ein Programm seine Spezifikation (Korrektheit)
Die Frage hierbei ist, ob gewünschte Aussagen über ein Programm wahr sind (oder