Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

für Gleichungen. Um s ≡ E t zu untersuchen, benötigt man ein konvergentes TES R, das
äquivalent zu E ist. Dann kann man das Wortproblem durch folgenden Algorithmus lösen.
(Wie immer gehen wir hierbei wieder von endlichen Gleichungssystemen E und TESen R
aus.)
Algorithmus WORTPROBLEM(R,s,t)
Eingabe: Ein konvergentes TES R über Σ und V (äquivalent zu E) und s,t ∈ T (Σ,V).
Ausgabe: “True”, falls s ≡ E t, und sonst “False”.
1. Reduziere s und t auf beliebige Weise mit → R solange wie möglich.
Auf diese Weise entstehen die Normalformen s↓ R und t↓ R .
2. Falls s↓ R = t↓ R , dann gib “True” aus.
Sonst gib “False” aus.
Satz 3.3.22 (Überprüfung des Wortproblems mit TESen)
(a) Der Algorithmus WORTPROBLEM terminiert.
(b) Falls R äquivalent zum Gleichungssystem E ist, so ist der Algorithmus WORTPRO-
BLEM korrekt.
(c) Existiert zu einem Gleichungssystem ein äquivalentes konvergentes TES, so ist das
Wortproblem über diesem Gleichungssystem entscheidbar.
Beweis.
(a) Die Terminierung folgt sofort aus der Terminierung von R, da jede Reduktionsfolge
von s und t endlich ist.
(b) Die Korrektheit des Algorithmus folgt aus Satz 3.3.19, da aus der Fundiertheit von
→ R die Normalisierung von → R folgt (Lemma 3.3.11) und demnach s↓ R = t↓ R
genau dann gilt, wenn s ↔ ∗ R t gilt. Dies genügt für die Korrektheit, denn R ist nach
Voraussetzung äquivalent zu E (d.h., s ↔ ∗ R t gdw. s ↔∗ E t gdw. s ≡ E t nach dem Satz
von Birkhoff, Satz 3.1.14).
(c) Die Entscheidbarkeit folgt sofort aus (b), da wir hierzu den Algorithmus WORTPRO-
BLEM als Entscheidungsverfahren verwenden können. Hierzu muss man sich davon
überzeugen, dass “Termersetzung”, d.h., das Reduzieren mit Regeln, effektiv (automatisch)
durchführbar ist. Der Grund ist, dass man effektiv feststellen kann, ob ein
Term t reduzierbar ist. Hierzu muss man die (endlich vielen) Teilterme von t und die
endlich vielen linken Seiten von Regeln aus R untersuchen und jeweils überprüfen, ob
der Term aus der Regel den Teilterm von t matcht. Einen Algorithmus, um Matching
automatisch durchzuführen und entsprechende Matcher zu berechnen, werden wir in
Kapitel 5 kennen lernen. Anschließend muss manden Teilterm durch dieentsprechend
(durch den Matcher) instantiierte rechte Seite ersetzen.
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