Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Ohne die Voraussetzung der Normalisierung folgt aus der Konfluenz natürlich nicht die
eindeutige Normalisierung. So ist das TES mit der Regel a → a natürlich konfluent, aber
es ist nicht normalisierend.
Bei normalisierenden und konfluenten Relationen → kann man anstelle der Überführbarkeit
s ↔ ∗ t die Zusammenführbarkeit s ↓ t untersuchen. Dies bedeutet insbesondere,
dass man bei normalisierenden und konfluenten TESen R also nur die Normalformen von s
und t berechnen und überprüfen muss, ob sie identisch sind, wenn man s ↔ ∗ R t untersuchen
will.
Satz 3.3.19 (Überführbarkeit und Zusammenführbarkeit) Sei → eine normalisierende
und konfluente Relation über M und seien s,t ∈ M. Dann gilt s ↔ ∗ t gdw. s↓ = t↓.
Beweis. Aus s↓ = t↓ folgt trivialerweise s ↔ ∗ t. Für die umgekehrte Richtung folgt aus
s ↔ ∗ t die Zusammenführbarkeit s ↓ t, da die Konfluenz äquivalent zur Church-Rosser
Eigenschaft ist (Satz 3.3.17). Es existiert daher ein Objekt q ∈ M mit s → ∗ q ← ∗ t. Da →
normalisierend ist, existiert auch eine Normalform q↓ von q. Somit ist q↓ auch Normalform
von s und t. Da aufgrund der Konfluenz Normalformen aber eindeutig sind (Lemma 3.3.18
(b)), folgt s↓ = q↓ = t↓.
✷
Da aus der Fundiertheit die Normalisierung folgt (Lemma 3.3.11), bedeutet Lemma
3.3.18 (b), dass Normalformen bei fundierten und konfluenten Relationen existieren und
eindeutig sind. Außerdem führt bei fundierten Relationen jede →-Folge zu dieser Normalform.
Satz 3.3.19 bedeutet dann, dass man bei terminierenden und konfluenten TESen
s ↔ ∗ R t entscheiden kann, indem man s und t zu ihrer Normalform reduziert. Unser Ziel
ist daher, TESe zu konstruieren, die sowohl terminieren als auch konfluent sind. Deshalb
führen wir für solche TESe einen eigenen Begriff ein.
Definition 3.3.20 (Konvergente TESe)
wenn es terminiert und konfluent ist.
Ein TES ist konvergent (oder kanonisch),
Beispiel 3.3.21 Bei konvergenten TESen R kann man ↓ R als Interpreter für das durch
die Gleichungen axiomatisierte Programm verwenden. Für jeden Grundterm t erhält man
durch t↓ R den “Wert” von t. Für das Programm aus den beiden plus-Gleichungen (3.1)
und (3.2) kann man also nun plus(2,1) auswerten lassen. Hierzu werden 2 und 1 in die
“rechnerinterne” Darstellung succ 2 (O) und succ(O) übersetzt und dann wird für den Term
t = plus(succ 2 (O),succ(O))dieNormalformt↓ R berechnet,vgl.Bsp.3.3.2.Beikonvergenten
TESen ist es dabei unerheblich, welche Regel angewendet wird, falls mehrere anwendbar
sind, und es ist garantiert, dass man nach endlich vielen Schritten die Normalform erreicht.
In unserem Beispiel erhält man auf diese Weise das Ergebnis succ 3 (O), d.h., 3.
Das obige Beispiel zeigt, dass man mit konvergenten TESen “rechnen” kann. Unser Ziel
ist jedoch ehrgeiziger, denn wir wollen auch Beweise führen. In der Tat lässt sich bei konvergenten
TESen unser Beweisverfahren für das Wortproblem nun wie gewünscht durchführen,
d.h., konvergente TES sind nicht nur “Interpreter”, sondern auch “automatische Beweiser”