Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Ansonsten gilt s ′ → t. Wegen q ← ∗ s ′ → t folgt aus der Konfluenz von →, dass q ↓ t
gilt, d.h., es existiert ein p mit q → ∗ p ← ∗ t. Damit ergibt sich s → ∗ q → ∗ p ← ∗ t, d.h.,
s ↓ t.
s
❊❊ ←→ ∗ s ′
❊❊❊❊❊❊❊
∗
q
−→ t
∗
2 22222222 ∗
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
❋
❋
❋
∗ ❋
❋
Man erkennt, dass in dem Beispiel R = {b → c,b → a} das Problem daran liegt, dass
der Term b mehrere Normalformen hat. In der Tat folgt aus der Konfluenz, dass jedes
Objekt höchstens eine Normalform hat. Ist die Auswertung darüberhinaus normalisierend,
so besitzt jeder Term genau eine Normalform. Dies macht deutlich, dass die Konfluenz
generell für Programme wichtig ist. Man möchte, dass das Resultat der Auswertung eines
Programms unabhängig von der verwendeten Auswertungsstrategie eindeutig ist (vgl. z.B.
die Diskussion über “call-by-value” und “call-by-name”-Auswertung bei funktionalen Programmiersprachen
[Gie05]). Sofern man weiß, dass das Programm terminiert (und damit
normalisierend ist), ist die Konfluenz äquivalent zur Eindeutigkeit der Ergebnisse. In Kapitel
5werden wirdaher Verfahrenuntersuchen, umdieKonfluenzautomatischnachzuweisen.
Lemma 3.3.18 (Konfluenz bedeutet eindeutige Normalformen)
p
(a) Wenn eine Relation → konfluent ist, dann hat jedes Objekt höchstens eine Normalform.
(b) Wenn → normalisierend und konfluent ist, dann hat jedes Element genau eine Normalform
(d.h., → ist eindeutig normalisierend).
(c) Jede eindeutig normalisierende Relation ist konfluent.
Beweis.
(a) Sei t ein Objekt mit den Normalformen q 1 und q 2 . Daraus folgt t → ∗ q 1 und t → ∗ q 2 .
Aufgrund der Konfluenz muss es also ein Objekt q geben mit q 1 → ∗ q ← ∗ q 2 . Da q 1
und q 2 aber Normalformen sind, folgt q 1 = q = q 2 .
(b) Normalisierung bedeutet, dass jedes Objekt mindestens eine Normalform hat, und
Konfluenz impliziert (nach (a)), dass jedes Objekt höchstens eine Normalform hat.
Daher hat bei einer normalisierenden konfluenten Relation jedes Objekt also genau
eine Normalform.
(c) Nun zeigen wir, dass aus der eindeutigen Normalisierung die Konfluenz folgt. Hierzu
sei s ← ∗ p → ∗ t. Wir müssen zeigen, dass dann s und t zusammenführbar sind.
Seien q 1 und q 2 die (eindeutigen) Normalformen von s und t. Dann sind beide auch
Normalformen von p und aufgrund der Eindeutigkeit folgt q 1 = q 2 . Somit haben wir
s → ∗ q 1 = q 2 ← ∗ t.
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