Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

und die Existenz eines geeigneten Objekts q.
p ❂ ❂❂❂❂❂❂❂
∗ ∗
s
❃ t
❃
❃
∗ ❃ ∗ ✁ ✁ ✁ ✁
q
Definition 3.3.16 (Konfluenz) Eine Relation → über einer Menge M heißt konfluent,
wenn für alle s,t,p ∈ M gilt:
Wenn p → ∗ s und p → ∗ t,
dann existiert ein q ∈ M mit s → ∗ q und t → ∗ q.
Ein TES R heißt konfluent, wenn die Ersetzungsrelation → R konfluent ist.
Anschaulich bedeutet Konfluenz, dass zwei unterschiedliche “Wege” von p nach s und
von p nach t immer zu einem gemeinsamen “Wegpunkt” q fortgesetzt werden können. Die
Existenz mehrerer Wege von p aus repräsentiert einen Indeterminismus, denn man kann
ausgehend von p sowohl nach s als auch nach t gelangen. Die Eigenschaft der Konfluenz
gewährleistet dann, dass solche Indeterminismen beliebig aufgelöst werden können. Der
folgendeSatzzeigt,dassKonfluenzunddieChurch-Rosser Eigenschaft inderTatäquivalent
sind.
Satz 3.3.17 (Church-Rosser gdw. konfluent) Für alle Relationen → gilt:
→ besitzt die Church-Rosser Eigenschaft gdw. → konfluent ist.
Beweis. Sei → zunächst eine Relation mit der Church-Rosser Eigenschaft. Für alle Elemente
s,t,p mit s ← ∗ p → ∗ t gilt somit s ↔ ∗ t und daher s ↓ t, d.h., es existiert ein q mit
s → ∗ q ← ∗ t. Daher ist → dann konfluent.
Für die Rückrichtung sei → konfluent und sei s ↔ ∗ t. Wir müssen zeigen, dass dann
s und t jeweils zusammenführbar sind. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über
die Anzahl der ↔-Schritte zwischen s und t. Im Induktionsanfang ist s = t und somit
trivialerweise s ↓ t.
Im Induktionsschluss gilt s ↔ ∗ s ′ ↔ t und aus der Induktionshypothese folgt s ↓ s ′ . Es
existiert also ein Element q mit s → ∗ q ← ∗ s ′ .
s ❊ ←→ ∗ s ′
❊
❊
∗ ❊ ∗
❊ 2 2 2 2 2 ←→ t
q
Falls s ′ ← t gilt, so folgt sofort q ← ∗ s ′ ← t, d.h., s ↓ t.
s
❊❊ ←→ ∗ s ′ ←− t
❊❊❊❊❊❊❊
∗ ∗
2
q
22222222